Fixons \(y\gt 0\), et comme au cours, introduisons \[ A := \{x\in \mathbb{R}_+\,|\,x^2 \lt y\}\,. \] Remarquons que \(A\) n'est pas vide puisque \(0\in A\). Montrons que \(A\) est majoré, en posant \(M:=\max\{y,1\}\). Si \(x\gt M\), alors \(x^2\gt M^2\). Or \[ M^2= \begin{cases} y^2\gt y &\text{ si }y\gt 1\\ 1^2=1\geqslant y &\text{ si }y\leqslant 1\,. \end{cases} \] Dans les deux cas, ceci montre que \(x\gt M\) implique \(x^2\geqslant y\), à savoir \(x\not\in A\). Donc \(M\) majore \(A\).

Montrons ensuite que \(A\) n'a pas d'élément maximal. Fixons donc \(x\in A\): \(x^2\lt y\). Prenons alors un entier quelconque \(n\in\mathbb{N}\), tel que \[ n\gt \frac{2x+1}{y-x^2}\,. \] Avec ce \(n\) fixé, considérons \(x'=x+\frac{1}{n}\), qui satisfait \(x'\gt x\), et calculons \[\begin{aligned} x'^2 &=\left(x+\frac{1}{n}\right)^2\\ &=x^2+\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}\\ &\leqslant x^2+\frac{2x+1}{n}\\ &\lt x^2+\frac{2x+1}{\frac{2x+1}{y-x^2}}=y\,. \end{aligned}\] Ceci implique que \(x'\in A\). Donc \(A\) n'a pas d'élément maximal.

On peut donc définir \[s:= \sup A\,.\] Puisque \(A\) n'a pas d'élément maximal, et comme \(s\) majore \(A\), ceci implique que \(s\not\in A\), donc \(s^2\geqslant y\).

D'autre part, montrons que le nombre \(M=\frac{y+s^2}{2s}\) majore \(A\). En effet, prenons un \(x\) tel que \(x\geqslant M\). On peut alors calculer \[\begin{aligned} x^2&=(s+(x-s))^2\\ &=s^2+2s(x-s)+\underbrace{(x-s)^2}_{\geqslant 0}\\ &\geqslant s^2+2s(x-s)\\ &\geqslant s^2+2s(M-s)=y\,,\\ \end{aligned}\] qui implique que \(x\not \in A\). De là on déduit que si \(x\in A\), alors \(x\leqslant M\): \(M\) majore \(A\).

Mais, comme \(s\) est le plus petit majorant de \(A\), on a forcément que \(s\leqslant M\). En utilisant dans cette dernière la définition de \(M\), on obtient \(s\leqslant \frac{y+s^2}{2s}\), qui est équivalent à \(s^2\leqslant y\).

On a donc démontré que \(s^2=y\).