Exercice 01-10
Démontrer l'inégalité de Bernoulli: pour tout entier \(n\geqslant 1\), \[ (1+x)^n \geqslant 1+nx\,,\quad \forall x\geqslant -1\,. \]
La méthode de preuve par récurrence est décrite ici.

on pourra définir \(\mathcal{P}(n)\) comme étant l'affirmation ''\((1+x)^n \geqslant 1+nx\) pour tout \(x\geqslant -1\)''. La nouveauté, ici, est que l'affirmation associée à \(n\) contient elle-même un ''pour tout \(x\geqslant -1\)''.

on pourra relier \(\mathcal{P}(n+1)\) à \(\mathcal{P}(n)\) en commençant par écrire \[ (1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\,. \]

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété suivante: \[ (1+x)^n \geqslant 1+nx\,,\quad \forall x\geqslant -1\,, \] que l'on peut récrire \[ a_n(x)\geqslant b_n(x)\,,\quad \forall x\geqslant -1\,, \] où \(a_n(x)=(1+x)^n\) et \(b_n(x)=1+nx\).

Pour \(n=1\), on a \(a_1(x)=1+x\) et \(b_1(x)=1+x\), donc \(a_1(x)=b_1(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), qui implique bien-sûr \(a_1(x)\geqslant b_1(x)\) pour tout \(x\geqslant -1\). Donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Supposons ensuite que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour un certain \(n\). On peut écrire, pour tout \(x\geqslant -1\), \[\begin{aligned} a_{n+1}(x)= (1+x)^{n+1} &=(1+x)^n(1+x)\\ &=a_n(x)(1+x)\\ &\geqslant b_n(x)(1+x)\,. \end{aligned}\] La dernière inégalité suit de l'hypothèse d'induction dans la dernière ligne, et du fait que \(1+x\geqslant 0\). Maintenant, en développant, \[\begin{aligned} b_n(x)(1+x) &= (1+nx)(1+x)\\ &=1+(n+1)x+\underbrace{nx^2}_{\geqslant 0}\\ &\geqslant 1+(n+1)x\\ &= b_{n+1}(x)\,. \end{aligned}\] Ceci montre que \(a_{n+1}(x)\geqslant b_{n+1}(x)\) pour tout \(x\geqslant -1\): \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Ainsi, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).