Exemple: Soit \(\mathcal{P}(n)=\)''le nombre entier \(n\) est divisible par \(2\)''. Alors \(\mathcal{P}(1)\) est fausse, \(\mathcal{P}(2)\) est vraie, \(\mathcal{P}(3)\) est fausse, etc. Donc on peut tout de suite résoudre tous les cas: \(\mathcal{P}(n)\) est vraie si \(n\) est pair, fausse si \(n\) est impair.

Exemple: Supposons qu'un certain univers soit infini, et contienne une infinité de galaxies. Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété ''il existe, dans cet univers, une galaxie dans laquelle on peut trouver exactement \(n\) planètes sur lesquelles on trouve la vie''. Dans ce cas, si on fixe un \(n\) et qu'on se pose la question de savoir si \(\mathcal{P}(n)\) est vraie ou fausse, on n'a qu'un seul moyen: parcourir tout l'univers jusqu'à trouver une galaxie contenant exactement \(n\) planètes sur lesquelles on trouve la vie. Il n'y a aucune corrélation entre les propriétés \(\mathcal{P}(n)\) pour des \(n\) différents. Par exemple, savoir que \(\mathcal{P}(n-1)\) et \(\mathcal{P}(n+1)\) son vraies n'implique pas forcément que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie aussi.

Exemple: Supposons que l'on ait devant nous une très longue table sur laquelle sont posés une infinité d'ordinateurs, numérotés \(1,2,3,\dots\). On découvre avec effroi que sur chacun de ces ordinateurs est installé un système opérationnel propriétaire, issu d'une grande compagnie.

Exemple: Nous allons montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \[ \boxed{1+2+3+4+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\,.} \] Commençons par nommer les deux membres de l'identité ci-dessus, en posant \[ a_n:= 1+2+3+4+\cdots +n\,,\qquad\text{ et }\qquad b_n:=\frac{n(n+1)}{2}\,. \] Notre but est donc de vérifier que \(a_n=b_n\) pour tout \(n\geqslant 1\).

Pour un \(n\) spécifique pas trop grand, on peut toujours le vérifier en calculant la valeur de \(a_n\), puis celle de \(b_n\), puis de voir si elles sont égales. Par exemple,

• pour \(n=1\), on a \(a_1=1\) et \(b_1=\frac{1\cdot 2}{2}=1\), et donc \(a_1=b_1\)
• pour \(n=2\), on a \(a_2=1+2=3\) et \(b_2=\frac{2\cdot 3}{2}=3\), et donc \(a_2=b_2\).

1. Initialisation: on a déjà vérifié plus haut, ''à la main'', que \(a_1=b_1\), et donc on sait que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
2. Pas d'induction: supposons que pour un \(n\) donné (dont on n'a pas besoin de spécifier la valeur), \(\mathcal{P}(n)\) est vraie , c'est-à-dire que l'on a effectivement \[ a_n=b_n\,. \] Pour montrer que ceci entraîne que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie, on va faire un calcul, à l'issue duquel on obtiendra que \(a_{n+1}=b_{n+1}\). Or la structure du problème fait que \(a_{n+1}\) peut être relié à \(a_n\). En effet, \[ a_{n+1}=1+2+3+4+\cdots+ n+(n+1)=a_n+(n+1)\,. \] Mais, puisque l'on est en train de supposer que \(a_n=b_n\), on peut l'utiliser et faire un peu d'arithmétique: \[\begin{aligned} a_{n+1} &=b_n+(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} =\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,. \end{aligned}\] Mais comme \[ b_{n+1}=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,, \] on a bien montré que \(a_{n+1}=b_{n+1}\). Ceci montre que si \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, alors \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie aussi. Mais comme l'initialisation a été vérifiée, on a donc bien montré que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).

Exemple: En utilisant la même technique, on peut montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \[ 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,. \] (Pour une preuve alternative, plus géométrique, voir ici (Mathologer).) On utilisera cette formule dans le chapitre sur l'intégration.