Exercice 13-11
Calculer les intégrales définies suivantes à l'aide de changements de variables.
  1. \(\displaystyle \int_2^3\frac{\sqrt{x+1}}{x}\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int_{\pi^2/16}^{\pi^2/9} \cos(\sqrt{x})\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{1+\sin(x)}dx\)
  4. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin(x)^5 \,dx\)
La formule du changement de variable peut être très efficace, mais requiert d'avoir une bonne idée pour le changement de variable à effectuer.

Il essentiel de s'habituer à devoir essayer plusieurs changements de variable avant de tomber sur celui/ceux qui permet/tent de conclure le calcul d'une intégrale.

Ci-dessous, quelques suggestions.

\(u=\sqrt{x+1}\)

\(u=\sqrt{x}\)

\(t=\sin(x)\)

\(t=\cos(x)\)

  1. Essayons \(u=\sqrt{x+1}\), qui revient à poser \(x=\varphi(u)=u^2-1\), \(\varphi'(u)=2u\). Comme \(x\) varie entre \(a=2=\varphi(\sqrt{3})\) et \(b=3=\varphi(2)\), les bornes de \(u\) sont \(\alpha=\sqrt{3}\) et \(\beta=2\). Ainsi, \[\begin{aligned} \int_2^3\frac{\sqrt{x+1}}{x}\,dx &=2\int_{\sqrt{3}}^2 \frac{u^2}{u^2-1}\,du \\ &=2\int_{\sqrt{3}}^2 \left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)\,du\\ &=2\int_{\sqrt{3}}^2 du + \int_{\sqrt{3}}^2 \frac{u+1-(u-1)}{(u+1)(u-1)}\,du\\ &=2\int_{\sqrt{3}}^2 du + \int_{\sqrt{3}}^2 \frac{1}{u-1}\,du - \int_{\sqrt{3}}^2 \frac{1}{u+1}\,du\\ &=\left[2u +\log\left(\left|\frac{u-1}{u+1}\right|\right)\right]_{\sqrt{3}}^2\\ &=4-2\sqrt{3} +\log\left(\frac{\sqrt{3}+1}{3(\sqrt{3}-1)}\right). \end{aligned}\]
  2. Pour avoir \(u=\sqrt{x}\), on pose \(x=\varphi(u)=u^2\), \(\varphi'(u)=2u\). Comme \(x\) varie entre \(a=\frac{\pi^2}{16}=\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)\) et \(b=\frac{\pi^2}{9}=\varphi\left(\frac{\pi}{3}\right)\), les bornes de \(u\) sont \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) et \(\beta=\frac{\pi}{3}\). \[\begin{aligned} \int_{\pi^2/16}^{\pi^2/9} \cos(\sqrt{x})\,dx &= 2\int_{\pi/4}^{\pi/3} u\cos(u)\,du \\ &\overset{(*)}{=} 2\Big[u\sin(u)\Big]_{\pi/4}^{\pi/3} - 2\int_{\pi/4}^{\pi/3} \sin(u)\,du \\ & = 2\Big[u\sin(u) + \cos(u)\Big]_{\pi/4}^{\pi/3} \\ &=1-\sqrt{2}-\frac{\pi\sqrt{2}}{4}+\frac{\pi\sqrt{3}}{3}, \end{aligned}\] Dans \((*)\), on a intégré par parties avec \(f'(u)=\cos(u)\), \(g(u)=u\).
  3. Remarquons que \[\begin{aligned} \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{1+\sin(x)}\,dx &= 2\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{\sin (x)}{1+\sin (x)}\cos (x)\,dx\\ &=2\int_0^1\frac{t}{t+1}\,dt=2(1-\log(2))\,. \end{aligned}\] (Dans la dernière, on a fait \(\frac{t}{t+1}=\frac{(1+t)-1}{t+1}=1-\frac{1}{t+1}\))
  4. En utilisant \(\sin(x)^2+\cos(x)^2=1\), \[\begin{aligned} \sin(x)^5 &=\big(\sin(x)^2\big)^2\sin(x)\\ &=\big(1-\cos(x)^2\big)^2\sin(x)\\ &= -f\big(\varphi(x)\big)\varphi'(x)\,, \end{aligned}\] où \(t=\varphi(x)=\cos(x)\) et \(f(t)=(1-t^2)^2\). Comme les bornes de \(x\) sont \(\alpha=0\) et \(\beta=\frac{\pi}{2}\), les bornes de \(t\) sont \(a=\varphi(\alpha)=1\) et \(b=\varphi(\beta)=0\). Ainsi \[\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\left(1-\cos(x)^2\right)^2\sin(x)\,dx &=-\int_1^0 (1-t^2)^2 \,dt\\ &= \int_0^1 (1-2t^2+t^4)\,dt\\ & = \left[t -\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5\right]_0^1 = \frac{8}{15}. \end{aligned}\]