Informel: lorsque \(x\) est proche de \(x_0=1\), \(2x\) sera proche de \(2\), et donc \(f(x)\) sera proche de \(-1\). On prend donc comme candidat \(L=-1\). Ensuite,
on décortique: \[ |f(x)-(-1)| =|(2x-3)+1| =2|x-1|\,. \] Cette expression montre clairement que si \(|x-1|\) est petit, alors \(|f(x)-(-1)|\) sera petit aussi. Reste à fixer \(\varepsilon\gt 0\) et trouver un \(\delta\gt 0\).
Une fois qu'on a un candidat pour \(L\), on décortiquera \(|f(x)-L|\), et on se retrouvera avec un quotient dont le dénominateur dépend de \(x\). Pour continuer, il faudra minorer ce dénominateur, ce qui mènera à un majorant pour \(|f(x)-L|\). C'est avec ce majorant que l'on pourra travailler pour trouver un \(\delta\gt 0\). Pour 2.
Remarquer que \(\sqrt{2x+6}\geqslant 0\) et donc \(\sqrt{2x+6}+4\geqslant 4\).
Remarquer qu'en prenant \(x\) petit, on peut assurer que par exemple \(2x+3\geqslant 1\).
On rappelle que \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\). Puis
Remarquer que lorsque \(x\) est assez proche de \(3\), \(|x+3|\) peut être rendu plus petit que \(7\).