Commençons par étudier les valeurs d'une fonction \(f\)
proche d'un point \(x_0\), avec la définition de base de la
limite en \(x_0\).
Le point \(x_0\) pourra être un point intérieur du
domaine de la fonction, ou alors sur son bord.
Il y a trop de comportements possibles pour \(f(x)\) lorsque \(x\) s'approche de
\(x_0\), donc dans notre analyse,
on se concentrera sur les comportements classiques
observés dans nombre de fonctions rencontrées en analyse, et qui sont les
plus
rencontrés dans le développement de la théorie des fonctions.
En particulier, on donnera un sens aux termes suivants:
\(f(x)\) tend vers \(L\in \mathbb{R}\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\)
\(f(x)\) tend vers l'infini lorsque \(x\) tend vers \(x_0\)
Notion de voisinage
Pour définir la ''limite de \(f(x)\) en \(x_0\)'', nous allons étudier les
valeurs de \(f(x)\) lorsque \(x\) devient
arbitrairement proche de \(x_0\). Et c'est la formulation rigoureuse de
cette notion qui pose souvent des difficultés.
Pour parler des réels \(x\) proches de \(x_0\), on utilisera la notion
de voisinage.
Soit \(x_0\in \mathbb{R}\).
L'ensemble \(V=\mathopen]x_0-\alpha,x_0\mathopen [\cup \mathopen]x_0,
x_0+\alpha\mathopen [\),
où \(\alpha\gt 0\), est appelé
voisinage épointé de \(x_0\).
Une fonction \(f\)
est définie au voisinage de \(x_0\) si il existe un
voisinage épointé de \(x_0\), \(V\), tel que \(f(x)\) est définie pour tout
\(x\in V\).
Exemple:
Aucune des
fonctions
\[
f(x)=\frac1{x}\,\qquad
f(x)=\log|x|\,\qquad
f(x)=\sin(\tfrac{1}{x^2+x})
\]
n'est définie
en \(0\), mais toutes sont bien définies dans un voisinage épointé de \(0\).
Par définition, un voisinage épointé de \(x_0\) contient une infinité de points
distincts de \(x_0\).
Mais surtout: quelle que soit la distance \(\delta\gt 0\)
qu'on choisit, aussi petite que l'on
veut, il contient des points \(x\) dont la distance à \(x_0\) est inférieure ou
égale à
\(\delta\):
\[
0 \lt |x-x_0|\leqslant \delta\,.
\]
Limite en un point
Un premier cas naturel à considérer est celui dans lequel
les valeurs de \(f(x)\) tendent à se rapprocher d'un nombre, que l'on
notera généralement \(L\), à mesure que
\(x\) se rapproche de \(x_0\).
Soit \(x_0\in \mathbb{R}\) et \(f\) une fonction définie dans un voisinage épointé
de \(x_0\).
On dit que \(f\) tend vers \(L\in \mathbb{R}\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\)
si pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe
\(\delta\gt 0\) tel que \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\) dès que \(0\lt
|x-x_0|\leqslant \delta\).
Le réel \(L\) sera appelé la limite, et on utilisera la notation:
\[\boxed{\lim_{x\to x_0}f(x)=L\,.}\]
Remarque:
Dans cette définition, on peut prendre \(\varepsilon\gt 0\)
arbitrairement petit, et le nombre
\(\delta\gt 0\) doit en général être pris en fonction de \(\varepsilon\).
Il est important de remarquer que l'étude de
\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) est indépendante de la valeur que \(f\) prend en \(x_0\).
En fait, \(f\) n'a même pas besoin d'être définie en \(x_0\) pour que
sa limite existe!
Sur l'animation ci-dessous, choisir quelques valeurs de \(\varepsilon\gt 0\), et
adapter \(\delta\gt 0\) de façon à ce que
\[|f(x)-L|\leqslant \varepsilon \quad\text{ dès que}\quad 0\lt
|x-x_0|\leqslant \delta\,.\]
Exemple:
Considérons une fonction \(f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to \mathbb{R}\), telle que
\[
f(x)=
\frac{x-1}{2}\qquad \forall x\neq 2\,.
\]
Étudions cette fonction dans un voisinage épointé de \(x_0=2\).
Cela signifie que l'on ne
s'intéresse qu'aux valeurs de \(f(x)\) pour des
réels \(x\) proches de \(2\), différents de \(2\).
À première vue, si \(x\) est proche de \(2\) alors \(x-1\) est
proche de \(1\), et donc \(f(x)\) devrait être proche de \(\frac12\).
On peut donc conjecturer que
\[
\lim_{x\to 2}f(x)=\tfrac12\,.
\]
Pour commencer, étudions la différence
\[
|f(x)-\tfrac12|
=\left|\frac{x-1}{2}-\frac12\right|
=\left|\frac{x-2}{2}\right|
=\tfrac12|x-2|\,.
\]
Cette expression montre de façon assez
transparente que \(f(x)\) est proche de
\(\frac12\) lorsque \(x\) est proche de \(2\), et permet maintenant
d'implémenter la définition de limite.
Fixons \(\varepsilon>0\). Par l'identité écrite plus haut, on a
\[|f(x)-\tfrac12|\leqslant \varepsilon\]
si et seulement si
\[ \tfrac12|x-2|\leqslant \varepsilon\,, \]
c'est à dire
\[ |x-2|\leqslant 2\varepsilon\,.\]
Ainsi, si on définit \(\delta:= 2\varepsilon\), on a bien \(|f(x)-\frac12|\leqslant
\varepsilon\) dès que \(0\lt |x-2|\leqslant \delta\). Ceci montre ce qu'on voulait:
\[
\lim_{x\to 2}f(x)=\tfrac{1}{2}\,.
\]
Sur l'animation ci-dessous, choisir la valeur de \(\varepsilon\), et
voir comment adapter \(\delta\) pour garantir
que tout \(x\in [2-\delta,2+\delta]\) ait
son image \(f(x)\in [\frac12-\varepsilon,\frac12+\varepsilon]\):
On observe que \(\delta=2\varepsilon\) est le ''meilleur'' \(\delta\) possible
.
Pour un autre exemple élémentaire traité en détails, cliquer
ici (blackpenredpen).
La fonction de l'exemple précédent a cela de particulier qu'elle a permis
d'écrire une proportionnalité exacte entre
\(|f(x)-\frac12|\) et \(|x-2|\),
\[
|f(x)-\tfrac12|
=\tfrac12|x-2|\,,
\]
ce qui a permis de facilement trouver un \(\delta\) en fonction de \(\varepsilon\).
Il n'y a que les fonctions du type \(f(x)=ax+b\) pour lesquelles cette
proportionnalité est explicite, c'est-à-dire pour lesquelles on peut toujours
écrire quelque chose comme (pour un \(L\) bien choisi)
\[
|f(x)-L|=C|x-x_0|\,,
\]
où \(C\) est une constante qui ne dépend pas de \(x\).
Si on ne peut pas faire de même dans un cas général, on pourra quand-même
essayer de majorer la différence \(|f(x)-L|\) comme suit:
\[
|f(x)-L|\leqslant C|x-x_0|\,,
\]
ce qui permet également de trouver un \(\delta\) en fonction de \(\varepsilon\).
Exemple:
Considérons
\[
f(x):=
\begin{cases}
\dfrac{3}{2x+5}&\text{ si }x\neq 2\,,\\
\sqrt{2}&\text{ si }x=2\,,
\end{cases}
\]
et montrons que
\[
\lim_{x\to 2}f(x)=\frac{1}{3}\,.
\]
Commençons par écrire la différence. Lorsque \(x\neq 2\),
\[
|f(x)-\tfrac13|
=\Bigl|
\frac{3}{2x+5}-\frac13
\Bigr|
=\frac{2}{3}\frac{|x-2|}{|2x+5|}\,.
\]
De par la présence de ''\(|x-2|\)'' au numérateur, cette
expression exprime bien que \(|f(x)-\frac13|\)
sera proche de zéro lorsque \(x\) sera proche
de \(2\).
Mais pour rendre l'argument rigoureux il faut d'abord
faire quelque chose pour
ne plus avoir de ''\(x\)'' au dénominateur de la fraction.
Nous allons donc travailler pour minorer le dénominateur
par une quantité strictement positive, qui ne dépend pas de \(x\).
Si on suppose par exemple que \(x\) est à
distance au plus \(1\) de \(2\), \(|x-2|\leqslant 1\) (c'est-à-dire
\(-1\leqslant x-2\leqslant 1\)), alors on peut écrire que
\[
2x+5=2(x-2+2)+5=2(x-2)+9\geqslant 2(-1)+9=7\,,
\]
qui implique en particulier que
\[
|f(x)-\tfrac13|
=\frac{2}{3}\frac{|x-2|}{2x+5}
\leqslant \frac{2}{3}\frac{|x-2|}{7}
=\frac{2}{21}|x-2|\,.
\]
Dorénavant, nous supposerons donc que \(|x-2|\leqslant 1\).
Maintenant, fixons un \(\varepsilon\gt 0\). L'inégalité que nous avons obtenue
au-dessus dit que pour rendre \(|f(x)-\tfrac13|\) plus petit que \(\varepsilon\),
il suffit de d'abord rendre \(\frac{2}{21}|x-2|\)
plus petit que \(\varepsilon\). Or
\[ \frac{2}{21}|x-2|\leqslant \varepsilon
\qquad
\Longleftrightarrow
\qquad
|x-2|\leqslant \frac{21}{2}\varepsilon\,.
\]
Ainsi, si on définit
\[
\delta:= \min\Bigl\{\frac{21}{2}\varepsilon,1\Bigr\}\,,
\]
alors \(0\lt |x-2|\leqslant \delta\) implique \(|f(x)-\frac13|\leqslant \varepsilon\).
Exemple:
Considérons
\[ f(x):=e^{-\frac{1}{x^2}}\,, \]
qui est bien définie partout, sauf en \(x=0\). Montrons que
\[
\lim_{x\to 0}f(x)=0\,.
\]
Fixons donc un \(\varepsilon\gt 0\), et montrons que l'on peut trouver un
\(\delta\gt 0\) tel que
\[
|e^{-\frac{1}{x^2}}|\leqslant \varepsilon \qquad \forall \quad 0\lt |x|\leqslant \delta\,.
\]
Pour cela, on remarque d'abord que, l'exponentielle étant toujours strictement
positive,
\(|e^{-\frac{1}{x^2}}|=e^{-\frac{1}{x^2}}\). Or on peut résoudre l'inégalité
\(e^{-\frac{1}{x^2}}\leqslant \varepsilon\) explicitement.
D'abord, en prenant le \(\log(\cdot)\) (qui est une fonction croissante)
des deux côtés de l'inégalité, et en changeant le sens de l'inégalité:
\[
\frac{1}{x^2}\geqslant -\log(\varepsilon)\,.
\]
Cette dernière est toujours vraie si \(\varepsilon\geqslant 1\); dans ce cas on peut
donc prendre n'importe quel \(\delta\), par exemple \(\delta=2\).
Ensuite, considérons le
cas où \(0\lt \varepsilon\lt 1\). Dans ce cas, \(\log(\varepsilon)\lt 0\), et
donc
\(-\log(\varepsilon)=|\log(\varepsilon)|\). On a donc montré que
\[
|f(x)|\leqslant \varepsilon\quad \text{ si et seulement si }\quad
|x|\leqslant \frac{1}{\sqrt{|\log(\varepsilon)|}}\,.
\]
On peut donc conclure en prenant
\[ \delta:=\frac{1}{\sqrt{|\log(\varepsilon)|}}\,.\]
On voit bien, par ce calcul, que plus \(\varepsilon>0\) est choisi petit, plus
\(x\) doit être pris proche de \(0\) pour que \(|f(x)|\leqslant \varepsilon\).
(La preuve suit exactement ce qu'on a fait pour les suites!)
Supposons, par l'absurde, que
\(f\) tende vers deux limites différentes, \(L_1\neq L_2\).
Sans perte de généralité, on peut supposer que \(L_1\lt L_2\).
Définissons
\[
\varepsilon:=\frac{L_2-L_1}{3}\,,
\]
qui est strictement positif par hypothèse. Aussi,
\(L_2-L_1>\varepsilon\).
Par définition de \(L_1\), il existe \(\delta_1>0\) tel que
\(|f(x)-L_1|\leqslant \varepsilon\) dès que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta_1\).
Par définition de \(L_2\), il existe \(\delta_2>0\) tel que
\(|f(x)-L_2|\leqslant \varepsilon\) dès que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta_2\).
Définissons maintenant
\[
\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,.
\]
Considérons alors un \(x\) tel que \(0\lt|x-x_0|\leqslant \delta\).
Comme \(\delta\leqslant \delta_1\), on a que \(|f(x)-L_1|\leqslant \varepsilon\).
Et, comme \(\delta\leqslant \delta_2\), on a que \(|f(x)-L_2|\leqslant \varepsilon\).
On a donc, par l'inégalité triangulaire, que
\[\begin{aligned}
|L_1-L_2|&=|(L_1-f(x))-(L_2-f(x))|\\
&\leqslant |L_1-f(x)|+|L_2-f(x)|\leqslant 2\varepsilon=\frac{2}{3}|L_1-L_2|\,,
\end{aligned}\]
ce qui est absurde
Le résultat suivant offre une caractérisation alternative de la limite en un
point, en établissant un lien avec la notion de limite introduite
précédemment pour le suites de réels. (En fait, certains textes/enseignants
utilisent cette caractérisation pour définir la limite d'une fonction en
un point.)
Lemme:
(Critère d'existence via les suites)
Soit \(f\) définie au voisinage de \(x_0\).
Alors
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=L
\]
si et seulement si pour toute suite
\((a_n)_n\) satisfaisant \(a_n\neq x_0\) pour tout \(n\) et \(a_n\to x_0\)
lorsque \(n\to \infty\), on a que
\[
\lim_{n\to\infty}f(a_n)=L\,.
\]
\(\Rightarrow:\) Supposons que \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\). Prenons une suite
\((a_n)_n\) telle que \(a_n\neq x_0\) pour tout \(n\), et telle que
\(a_n\to x_0\).
Fixons \(\varepsilon\gt 0\).
Par la définition de limite, il existe \(\delta\gt 0\) tel que
\(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\) dès que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta\).
Puisque \(a_n\to x_0\), il existe un entier \(N\) tel que \(|a_n-x_0|\leqslant
\delta\), et donc \(|f(a_n)-L|\leqslant \varepsilon\), ceci pour tout \(n\geqslant N\).
Ceci montre que \(f(a_n)\to L\).
\(\Leftarrow:\) Supposons maintenant que \(f(a_n)\to L\) pour toute suite
\(a_n\to x_0\). Par l'absurde, supposons que \(f(x)\) ne tend pas vers \(L\)
lorsque \(x\) tend vers \(x_0\). Cela signifie qu'il existe \(\varepsilon_*>0\)
pour lequel il n'existe aucun \(\delta\gt 0\) tel que \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon_*\)
dès que \(0\lt |x-x_0|\leqslant \delta\).
Considérons alors la suite \(\delta_n=\frac1n\) et pour tout \(n\),
considérons un \(x_n\) tel que \(0\lt |x_n-x_0|\leqslant \delta_n\) et
\(|f(x_n)-L|\gt \varepsilon_*\).
On a donc une suite \((x_n)\) telle que \(x_n\to x_0\), mais pour
laquelle \(f(x_n)\) ne tend pas vers \(L\), une contradiction.
Ce critère est en général utilisé pour montrer qu'une fonction \(f\)
n'a pas de limite lorsque \(x\to x_0\). Pour ce faire, on pourra soit
trouver une suite \(x_n\to x_0\) pour laquelle \(\lim_{n\to \infty} f(x_n)\) n'existe
pas, ou alors trouver deux suites \(x_n\to x_0\), \(y_n\to x_0\) telles que les
suites \(f(x_n)\) et \(f(y_n)\) possèdent des limites différentes
lorsque \(n\to\infty\):
\[
\lim_{n\to \infty}f(x_n)
\neq
\lim_{n\to \infty}f(y_n)
\]
Exemple:
Montrons que la fonction \(f(x)=\sin(\frac1x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to
0\). Pour ce faire,
considérons deux suites qui tendent vers zéro.
Pour la première, prenons
\(x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\), pour laquelle
\[ f(x_n)=\sin(\tfrac{1}{x_n})=\sin(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n)=1\qquad \forall n
\]
Pour la deuxième, prenons
\(y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}\), pour laquelle
\[ f(y_n)=\sin(\tfrac{1}{y_n})=\sin(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n)=-1\qquad \forall n
\]
On a donc \(x_n\to 0\) et \(y_n\to 0\), mais
\[\lim_{n\to \infty} f(x_n)\neq \lim_{n\to \infty} f(y_n)\,.\]
Le théorème ci-dessus implique donc que
la limite \(\lim_{x\to 0}f(x)\) n'existe pas.
Quiz 7.2-1 :
Soit \(f\) une fonction définie dans un voisinage épointé de \(x_0\), et telle
que \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\). Alors
\(f(x_0)=L\)
il existe \(\varepsilon>0\) tel que
\(f(x)=L\) dès que \(0<|x-x_0|\leqslant \varepsilon\)
\(f(x)\) est différent de \(L\) pour tout \(x\) suffisamment proche
de \(x_0\)
il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour tout \(\delta>0\),
\(0<|x-x_0|\leqslant \delta\) implique \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\)
il existe \(\delta>0\) tel que pour tout \(\varepsilon>0\),
\(0<|x-x_0|\leqslant \delta\) implique \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\)
pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que
\(0<|x-x_0|\leqslant \delta\) dès que \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\)
pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que
\(0<|x-x_0|\leqslant \varepsilon\) dès que \(|f(x)-L|\leqslant \delta\)
Quiz 7.2-2 :
Soit \(f\) une fonction définie dans un voisinage épointé de \(x_0\), telle que
\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) existe.
Vrai ou faux?
\(f(x_0)\) existe
Pour toute fonction \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(\lim_{x\to x_0}g(f(x))\)
existe.
Il existe \(\delta>0\) tel que
\(\sup_{x\in I}|f(x)|\lt \infty\), où
\[
I=]x_0-\delta,x_0[\cup ]x_0,x_0+\delta[\,.
\]
