Le terme général tend vers zéro quelle que soit la valeur de \(\beta\). Comme \[n\mapsto n\log(n)(\log(\log(n)))^\beta\] est un produit de fonctions croissantes, elle est croissante, et donc le terme général est décroissant. On peut donc utiliser le théorème vu au cours et obtenir la convergence/divergence de la série à partir de la convergence/divergence de l'intégrale généralisée \[ I_\beta=\int_{27}^\infty\frac{1}{x \log(x)(\log(\log(x)))^\beta}\,dx\,. \] Remarquons que cette intégrale est bien définie puisque si \(x\geqslant 27=3^3\geqslant e^e\), alors \(\log(\log(x))\geqslant \log(\log(e^e))=1>0\).

Par un changement de variable, en posant \(y=\varphi(x) := \log(\log(x))\), on a \(\varphi'(x)=\frac{1}{x\log(x)}\), et donc \[\begin{aligned} \int_{27}^\infty&\frac{1}{x \log(x)(\log(\log(x)))^\beta}\,dx\\ &= \lim_{L\to \infty} \int_{27}^L\frac{1}{x \log(x)(\log(\log(x)))^\beta}\,dx\\ &= \lim_{L\to \infty} \int_{\log(\log(27))}^{\log(\log(L))}\frac{1}{y^\beta}\,dy = \int_{\log(\log(27))}^{\infty}\frac{1}{y^\beta}\,dy\,. \end{aligned}\] Or par le théorème vu au cours, cette dernière converge si et seulement si \(\beta>1\). On a donc que \[ \sum_{n\geqslant 27} \frac{1}{n\log(n)(\log(\log(n)))^\beta} \begin{cases} \text{converge si }\beta>1\,,\\ \text{diverge si }0<\beta\leqslant 1\,. \end{cases} \]