Exercice 08-11
Calculer les limites suivantes.
  1. lim⁡x→2x3+2x−13x2−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x-1}{3x^2-2}
  2. lim⁡x→1x3+x2−2x−1\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3+x^2-2}{x-1}
  3. lim⁡x→0cos⁡(2x)−1sin⁡(x2)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin(x^2)}
  4. lim⁡x→1(11−x−31−x3)\displaystyle \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)
  5. lim⁡x→acos⁡(x)−cos⁡(a)x−a\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\cos(x) -\cos(a)}{x-a}

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Il s'agit ici d'utiliser les propriétés de la limite, ainsi que toutes les méthodes vues précédemment, pour calculer certaines limites. Cela s'applique bien sûr au traitement de tous les types d'indétermination.

Rappelons que si un polynôme réel P(x)P(x) s'annule en x0x_0, c'est qu'il peut se factoriser en P(x)=(x−x0)Q(x)P(x)=(x-x_0)Q(x).

Rappelons que lim⁡x→0sin⁡(x)x=1 . \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\,.

Remarquer que le polynôme 1−x31-x^3 s'annule en x0=1x_0=1.

Une formule de trigonométrie peut s'avérer utile pour cos⁡(x)−cos⁡(a)\cos(x)-\cos(a).

  1. Comme le numérateur et le dénominateur possèdent des limites, et que celle du dénominateur n'est pas nulle, le calcul de cette limite est direct: lim⁡x→2x3+2x−13x2−2=lim⁡x→2(x3+2x−1)lim⁡x→2(3x2−2)=23+2⋅2−13⋅22−2=1110 .\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x-1}{3x^2-2} &=\frac{\lim_{x\to 2}(x^3+2x-1)}{\lim_{x\to 2}(3x^2-2)}\\ &= \frac{2^3+2\cdot 2-1}{3\cdot 2^2-2} = \frac{11}{10}\,. \end{aligned}
  2. Le numérateur et le dénominateur possèdent des limites lorsque x→1x\to 1, mais les deux sont nulles, donc cette limite est indéterminée du type ''00\frac00''. Puisque le numérateur est un polynôme qui s'annule en x0=1x_0=1, on peut le factoriser par x−1x-1: x3+x2−2=(x−1)(x2+2x+2) x^3+x^2-2=(x-1)\left(x^2+2x+2\right) (On a effectué la division polynômiale.) On a donc lim⁡x→1x3+x2−2x−1=lim⁡x→1(x−1)(x2+2x+2)x−1=lim⁡x→1(x2+2x+2)=lim⁡x→1x2+lim⁡x→12x+2=12+2⋅1+2=5.\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^3+x^2-2}{x-1} &=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\left(x^2+2x+2\right)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}\left(x^2+2x+2\right)\\ &= \lim_{x\to 1} x^2 + \lim_{x\to 1}2x + 2 \\ &=1^2+2\cdot 1+2=5. \end{aligned}
  3. En utilisant 1−cos⁡(2x)=2sin⁡(x)21-\cos(2x)=2\sin(x)^2, la limite devient lim⁡x→0−2sin⁡(x)2sin⁡(x2)=−2⋅lim⁡x→0(sin⁡(x)2x2⋅x2sin⁡(x2))=−2⋅lim⁡x→0(sin⁡(x)x)2⋅1lim⁡x→0sin⁡(x2)x2=−2⋅12⋅1=−2 .\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin(x)^2}{\sin(x^2)} &= -2\cdot\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)^2}{x^2}\cdot \frac{x^2}{\sin(x^2)}\right) \\ &= -2\cdot \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}}\\ &=-2\cdot 1^2 \cdot 1=-2\,. \end{aligned}
  4. Comme 1−x3=(1−x)(1+x+x2)1-x^3=(1-x)(1+x+x^2), on peut mettre au même dénominateur 11−x−31−x3=1+x+x2−31−x3=x2+x−2(1−x)(1+x+x2)=(x−1)(x+2)(1−x)(1+x+x2)=−x+2x2+x+1 .\begin{aligned} \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} &= \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}\\ &= \frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)} \\ &= \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}\\ &= -\frac{x+2}{x^2+x+1}\,. \end{aligned} Ainsi, lim⁡x→1(11−x−31−x3)=−lim⁡x→1x+2x2+x+1=−1 \lim_{x\to 1} \Bigl( \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \Big) = -\lim_{x\to 1} \frac{x+2}{x^2+x+1} =-1
  5. Avec une formule de trigonométrie on peut récrire le numérateur lim⁡x→acos⁡(x)−cos⁡(a)x−a=lim⁡x→a−2⋅sin⁡(x+a2)⋅sin⁡(x−a2)x−a=−(lim⁡x→asin⁡(x+a2))⋅(lim⁡x→asin⁡(x−a2)x−a2)=−sin⁡(a) .\begin{aligned} \lim_{x\to a}&\frac{\cos(x) -\cos(a)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{-2\cdot \sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{x-a}{2}\right)}{x-a}\\ &= -\left(\lim_{x\to a}\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}\frac{\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}\right) \\ &= -\sin(a)\,. \end{aligned}