Exercice 08-11
Calculer les limites suivantes.
  1. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x-1}{3x^2-2}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3+x^2-2}{x-1}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-1}{\sin(x^2)}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\cos(x) -\cos(a)}{x-a}\)
Il s'agit ici d'utiliser les propriétés de la limite, ainsi que toutes les méthodes vues précédemment, pour calculer certaines limites. Cela s'applique bien sûr au traitement de tous les types d'indétermination.

Rappelons que si un polynôme réel \(P(x)\) s'annule en \(x_0\), c'est qu'il peut se factoriser en \(P(x)=(x-x_0)Q(x)\).

Rappelons que \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\,. \]

Remarquer que le polynôme \(1-x^3\) s'annule en \(x_0=1\).

Une formule de trigonométrie peut s'avérer utile pour \(\cos(x)-\cos(a)\).

  1. Comme le numérateur et le dénominateur possèdent des limites, et que celle du dénominateur n'est pas nulle, le calcul de cette limite est direct: \[\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x-1}{3x^2-2} &=\frac{\lim_{x\to 2}(x^3+2x-1)}{\lim_{x\to 2}(3x^2-2)}\\ &= \frac{2^3+2\cdot 2-1}{3\cdot 2^2-2} = \frac{11}{10}\,. \end{aligned}\]
  2. Le numérateur et le dénominateur possèdent des limites lorsque \(x\to 1\), mais les deux sont nulles, donc cette limite est indéterminée du type ''\(\frac00\)''. Puisque le numérateur est un polynôme qui s'annule en \(x_0=1\), on peut le factoriser par \(x-1\): \[ x^3+x^2-2=(x-1)\left(x^2+2x+2\right) \] (On a effectué la division polynômiale.) On a donc \[\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^3+x^2-2}{x-1} &=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\left(x^2+2x+2\right)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}\left(x^2+2x+2\right)\\ &= \lim_{x\to 1} x^2 + \lim_{x\to 1}2x + 2 \\ &=1^2+2\cdot 1+2=5. \end{aligned}\]
  3. En utilisant \(1-\cos(2x)=2\sin(x)^2\), la limite devient \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin(x)^2}{\sin(x^2)} &= -2\cdot\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)^2}{x^2}\cdot \frac{x^2}{\sin(x^2)}\right) \\ &= -2\cdot \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}}\\ &=-2\cdot 1^2 \cdot 1=-2\,. \end{aligned}\]
  4. Comme \(1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)\), on peut mettre au même dénominateur \[\begin{aligned} \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} &= \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}\\ &= \frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)} \\ &= \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}\\ &= -\frac{x+2}{x^2+x+1}\,. \end{aligned}\] Ainsi, \[ \lim_{x\to 1} \Bigl( \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \Big) = -\lim_{x\to 1} \frac{x+2}{x^2+x+1} =-1 \]
  5. Avec une formule de trigonométrie on peut récrire le numérateur \[\begin{aligned} \lim_{x\to a}&\frac{\cos(x) -\cos(a)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{-2\cdot \sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{x-a}{2}\right)}{x-a}\\ &= -\left(\lim_{x\to a}\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}\frac{\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}\right) \\ &= -\sin(a)\,. \end{aligned}\]