Comme \(f\in C^\infty(\mathbb{R})\), elle possède des développements limités à tous les ordres. Utilisons la formule de Taylor pour calculer le \(DL(n)\).

On a \(f^{(n)}(x) = 2^ne^{2x+1}\) et donc \(f^{(n)}(0)=2^ne\). Ainsi le \(DL(n)\) de \(f\) autour de \(x_0=0\) est donné par \[ f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{2^ke}{k!}\,x^k + R_n(x)\] où le reste \[R_n(x) = \frac{2^{n+1}e^{2u+1}}{(n+1)!}\,x^{n+1}\,, \] où \(u\) est entre entre \(0\) et \(x\). Donc, comme \(|u|\leqslant |x|\), \[ 0 \leqslant \left|R_n(x)\right| \leqslant \frac{2^{n+1}e e^{2|x|}}{(n+1)!}\,|x|^{n+1}\,, \] et comme \[ \lim_{n\to \infty}\frac{(2|x|)^{n+1}}{(n+1)!}= 0\,, \] on en déduit que \(\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)= 0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\). Pour ce qui est de la série entière \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\,, \] son rayon de convergence est \(R=\infty\) puisque \[ \sigma= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}e}{(n+1)!}}{\frac{2^ne}{n!}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0\,. \] Ainsi, \(f\) possède un développement de Taylor autour de \(x_0=0\) (c'est-à-dire un développement de MacLaurin), donné par \[ f(x) = e^{2x+1}= e\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\,x^n \quad \text{pour tout }x\in \mathbb{R}\,. \]