Exercice 10-13
On dit qu'une fonction f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} possède la propriété de l'accroissement fini si il existe un point c∈]a,b[c\in]a,b[ où ff est dérivable et où f′(c)=f(b)−f(a)b−a . f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,. Déterminer, parmi les fonctions suivantes, celles qui possèdent la propriété de l'accroissement fini. Lorsque c'est le cas, on donnera si possible la valeur de cc.
  1. f(x)=xexf(x)=xe^x sur [−π,π][-\pi,\pi]
  2. f(x)={x2 si −1⩽x<0 ,0 si 0⩽x⩽1 .\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2&\text{ si }-1\leqslant x<0\,,\\ 0 &\text{ si }0\leqslant x\leqslant 1\,. \end{cases}
  3. f(x)={x2 si −1⩽x<0 ,x2 si 0⩽x⩽1 .\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2&\text{ si }-1\leqslant x<0\,,\\ \frac{x}{2} &\text{ si }0\leqslant x\leqslant 1\,. \end{cases}
  4. f(x)=∣x∣f(x)=|x| sur [−1,1][-1,1]
Attention à bien relire l'énoncé!

Remarquons que le Théorème des accroissements finis (TAF) affirme que si f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} satisfait aux hypothèses suivantes (appelées ''hypothèses du TAF''), alors elle possède la propriété de l'accroissement fini définie dans l'énoncé.

Dans les cas considérés ici, on pourra parfois utiliser le TAF, parfois pas.
  1. Comme ff est continue et dérivable (partout), les hypothèses du TAF sont satisfaites, et donc ff possède la propriété: il existe c∈]−π,π[c\in ]-\pi,\pi[ tel que f′(c)⏟ec(1+c)=πeπ−(−π)e−ππ−(−π)⏟=cosh⁡(π) . \underbrace{f'(c)}_{e^c(1+c)}=\underbrace{\frac{\pi e^{\pi}-(-\pi)e^{-\pi}}{\pi-(-\pi)}}_{=\cosh(\pi)}\,.
    Il n'existe pas de méthode simple donnant la valeur exacte de cc.
  2. La fonction est continue sur [−1,1][-1,1], dérivable sur ]−1,1[]-1,1[ (on laisse le lecteur vérifier qu'elle est dérivable également en x=0x=0). Donc ff possède la propriété car le TAF s'applique: il existe c∈]−1,1[c\in ]-1,1[ tel que f′(c)=f(1)−f(−1)1−(−1)=−12 . f'(c)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=-\frac12\,.
    Ici on peut calculer cc: c=−14c=-\frac14. En effet, dans un voisinage de ce point la fonction est x2x^2, ce qui donne bien f′(c)=2c=−12f'(c)=2c=-\frac12.
  3. Remarquons qu'ici les hypothèses du TAF ne sont pas satisfaites puisque ff n'est pas dérivable en x=0x=0; en effet, f−′(0)=0f'_-(0)=0 alors que f+′(0)=12f'_+(0)=\frac12. Pourtant, remarquons qu'elle possède la propriété de l'accroissement fini. En effet, au point c=−18c=-\frac18, ff est dérivable et f′(c)=−14f'(c)=-\frac14. Or f(1)−f(−1)1−(−1)=−14=f′(−18) . \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=-\frac14=f'(-\tfrac18)\,.
  4. ff ne satisfait pas les hypothèses du TAF. Elle ne possède pas non plus la propriété de l'accroissement fini puisque f′(x)=+1f'(x)=+ 1 si x>0x>0, f′(x)=−1f'(x)=-1 si x<0x<0, alors que f(1)−f(−1)1−(−1)=0 . \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=0\,.