Soit \(f:I\to\mathbb{R}\), où \(I\) est un intervalle ouvert.
Montrer que s'il existe une constante \(\alpha>1\) telle
que
\[
|f(x)-f(y)|\leqslant |x-y|^\alpha\qquad \forall x,y\in I\,,
\]
alors \(f\) est une constante.
Fixons un \(x_0\in I\) quelconque. Par la propriété, on a que
pour tout \(x\in I\), \(x\neq x_0\),
\[
\Bigl|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Bigr|
\leqslant
\frac{|x-x_0|^\alpha}{|x-x_0|}
=|x-x_0|^{\alpha-1}
\]
Prenons la limite \(x\to x_0\).
Puisque \(\alpha-1>0\), on a que \(|x-x_0|^{\alpha-1}\to 0\), et donc
\[
\lim_{x\to x_0}
\Bigl|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Bigr|
=0\,.
\]
Ceci montre que \(f'(x_0)\) existe et vaut zéro, quel que soit \(x_0\) dans
l'intervalle \(I\).
Par un résultat vu
au cours (Conséquence 2),
ceci implique que \(f\) est une fonction constante.