Comme présenté ici, on garantit la dérivabilité de \(g\circ f\) en \(x_0=0\) si deux conditions sont satisfaites:

1. si \(f\) est dérivable en \(0\), et
2. si \(g\) est dérivable au point \(f(0)\).

De plus, lorsque ces deux conditions sont satisfaites, \[ (g\circ f)'(0) = g'(f(0))f'(0)\,. \] Lorsque c'est possible, on pourra calculer les dérivées des fonctions à l'aide des dérivations.

1. Remarquons que \(f\) est dérivable en \(0\), et que \(g\) est dérivable en \(f(0)=3\).
   
   Pour calculer \(f'(x)\), écrivons \(f(x)=2x+3+\left(e^x-1\right)u(x)\), où \(u(x)=\sin(x)^7\cos(x)^4\). Alors \[ f'(x)=2+e^xu(x)+\left(e^x-1\right)u'(x)\, \] et \[ u'(x)=7\sin(x)^6\cos(x)^5-4\sin(x)^8\cos(x)^3. \] Ainsi \(u(0)=u'(0)=0\) et donc \(f'(0) = 2\).
   
   Ensuite on a \(g'(x)=\dfrac{3\log(x)^2}{x}\). Puisque \(f(0)=3\) on trouve finalement \[ (g\circ f)'(0)=g'(3)f'(0)=\frac{3\log(3)^2}{3}\cdot 2=2\log(3)^2. \]
2. Commençons par étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\): \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)+2x-0}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)+2\right)=2\,, \end{aligned}\] donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=2\).
   
   Ensuite, \(g\) est dérivable au point \(f(0)=0\), et comme \(g'(x)=4(x-1)^3\), on obtient \[ (g\circ f)'(0)= g'(0)\cdot f'(0) = (-4)\cdot 2 = -8. \]