9.3 Règles de dérivation

Pour l'instant, la dérivée associe à une fonction \(f\) et un point \(x_0\) le nombre \(f'(x_0)\). Si on sait calculer la dérivée en chaque point \(x_0\) du domaine de \(f\), la dérivée devient une nouvelle fonction, \[\begin{aligned} x_0\mapsto f'(x_0)\,, \end{aligned}\] et comme on aimerait plutôt voir \(x_0\) comme un variable, on écrira plutôt \[\begin{aligned} x\mapsto f'(x)\,. \end{aligned}\] On dira que \(f\), définie sur un ouvert, est dérivable si elle est dérivable en tout point \(x_0\) de son ensemble de définition, et donc si sa dérivée \(f'\) est définie en tout point de cet ouvert.

Exemple: La fonction \(f(x):= x^2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et sa dérivée est donnée par \(f'(x)=2x\). En effet, pour un \(x_0\in \mathbb{R}\) fixé, \[\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{(x_0^2+2x_0h+h^2)-x_0^2}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}(2x_0+h)\\ &=2x_0\,. \end{aligned}\]

Sommes et produits

Pour commencer, montrons que si deux fonctions sont dérivables en un point, alors leur somme et leur produit le sont aussi, et donnons les expressions des dérivées de ces fonctions:

Soient \(f,g\) dérivables en un point \(x_0\). Alors la somme et le produit de \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(x_0\), et
  1. \((f+g)'(x_0)=f'(x_0)+ g'(x_0)\)
  2. \((f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\)

La deuxième propriété implique en particulier que pour toute constante \(C\), \[(C f(x)')=C f'(x)\,.\]

En écrivant la définition de la dérivée de \(f+ g\) en \(x_0\) et en réarrangeant un peu les termes, \[\begin{aligned} (f+g)'(x_0) &=\lim_{x\to x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{x\to x_0}\Bigl\{ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\bigr\}\\ &=f'(x_0)+g'(x_0)\,. \end{aligned}\] Cette dernière montre que \(f+g\) est dérivable en \(x_0\), et que sa dérivée en ce point vaut \(f'(x_0)+g'(x_0)\). Par définition, la dérivée de \(f\cdot g\) en \(x_0\) est \[\begin{aligned} (f\cdot g)'(x_0) &=\lim_{x\to x_0}\frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \end{aligned}\] En insérant \(\pm f(x_0)g(x)\) au numérateur, et en réarrangeant l'expression obtenue, \[\begin{gathered} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\ =\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\ =\underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}_{\to f'(x_0)}\underbrace{g(x)}_{\to g(x_0)} +f(x_0)\underbrace{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}_{\to g'(x_0)} \end{gathered}\] Dans cette dernière ligne, on a utilisé le fait que \(f\) et \(g\) sont toutes deux dérivables en \(x_0\). On a également utilisé le fait suivant: puisque \(g\) est dérivable en \(x_0\), elle est continue en ce point, et donc \(\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)\).

Composées et quotients

Rappelons que la composée de deux fonctions \(f\) et \(g\), lorsqu'elle est bien définie, est donnée par \((f\circ g)(x):= f(g(x))\).

Soit \(g\) dérivable au point \(x_0\), et \(f\) dérivable au point \(a=g(x_0)\). Alors \(f\circ g\) est dérivable au point \(x_0\), et \[ \boxed{(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)} \]

Étudions \[ (f\circ g)'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{(f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{h}\,. \]

  • Puisque \(g\) est dérivable en \(x_0\), il existe une fonction \(r_{x_0}\) telle que \[g(x_0+h)=\underbrace{g(x_0)}_{=a} +\underbrace{(g'(x_0)+r_{x_0}(h))h}_{=:H}\,.\] Remarquons que \(H\to 0\) lorsque \(h\to 0\).
  • Puis, comme \(f\) est dérivable en \(a\), il existe une fonction \(\tilde{r}_{a}(H)\) telle que \[f(a+H)=f(a)+(f'(a)+\tilde{r}_a(H))H\,.\]
On a donc \[\begin{aligned} f(g(x_0+h))=f(a+H)&=f(a)+(f'(a)+\tilde{r}_{a}(H))H\\ &=f(g(x_0))+f'(g(x_0))H+\tilde{r}_{a}(H)H\,, \end{aligned}\] ce qui permet d'écrire \[\begin{aligned} \frac{(f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{h} &=\bigl(f'(g(x_0))+\tilde{r}_a(H)\bigr)\frac{H}{h}\\ &=\bigl(f'(g(x_0))+\tilde{r}_a(H)\bigr)(g'(x_0)+r_{x_0}(h))\\ \end{aligned}\] Mais lorsque \(h\to 0\), \(\tilde{r}_a(H)\to 0\) et \(r_{x_0}(h)\to 0\), et donc \[ \lim_{h\to 0}\frac{(f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{h}=f'(g(x_0))g'(x_0), \] ce qu'on voulait démontrer.

Comme conséquence, on peut maintenant dériver d'autres types de fonctions, comme des quotients:

Soient \(f,g\) dérivables en \(x_0\). Si \(g(x_0)\neq 0\), alors \(\frac{f}{g}\) est dérivable en \(x_0\), et \[ \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'(x_0) =\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}\,. \]

On commence par utiliser la règle de dérivation d'une composée pour dériver l'inverse de \(g\) en \(x_0\): \[ \Bigl(\frac{1}{g}\Bigr)'(x_0)= -\frac{g'(x_0)}{g(x_0)^2}\,. \] On voit ensuite le quotient comme un produit, on dérive ce produit, et on met tout le monde au même dénominateur: \[\begin{aligned} \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'(x_0)= \Bigl(f\cdot \frac{1}{g}\Bigr)'(x_0) &=f'(x_0)\frac{1}{g(x_0)}+f(x_0)\Bigl(\frac{1}{g}\Bigr)'(x_0)\\ &=f'(x_0)\frac{1}{g(x_0)}+f(x_0)\Bigl(\frac{-g'(x_0)}{g(x_0)^2}\Bigr)\\ &=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}\,. \end{aligned}\]

Remarque: On n'a pas, pour l'instant, de formule pour des dérivées du type \((f(x)^{g(x)})'\). Pour dériver ce genre de fonctions, on prendra garde à ce que \(f(x)>0\) dans le voisinage du point considéré, et on commencera toujours par exponentier \(f(x)\): puisque \(f(x)>0\), \[ f(x)=e^{\log(f(x))}\,. \] On devrait donc considérer \[ f(x)^{g(x)}:= e^{g(x)\log(f(x))} \] comme une définition. On calculera la dérivée de cette dernière à l'aide des règles de base: \[ (e^{g(x)\log(f(x))})'=e^{g(x)\log(f(x))}(g(x)\log(f(x)))'\,. \] On pourra calculer la dérivée de cette parenthèse une fois connue la dérivée du logarithme (section suivante).

Quiz 9.3-1 : Vrai ou faux?
  1. Si \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(x_0\), alors \(f\cdot g\) est dérivable en \(x_0\).
  2. Si \(f\) et \(g\) ne sont pas dérivables en \(x_0\), alors \(f\cdot g\) ne l'est pas non plus.
  3. Si \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(x_0\), et si \(g'(x_0)=0\), alors \(\frac{f}{g}\) n'est pas dérivable en \(x_0\).
  4. Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) mais \(g\) n'est pas dérivable en \(x_0\), alors \(f\cdot g\) n'est pas dérivable en \(x_0\).
  5. Si \(f\) et \(g\) sont dérivables en \(x_0\), et si \((f\cdot g)'(x_0)=0\), alors \(f'(x_0)=0\) ou \(g'(x_0)=0\).

Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:29)

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