Exercice 11-02
Chercher les max/min globaux des fonctions ci-dessous, sur l'intervalle donné. En déduire l'ensemble image de \(f\).
  1. \(\displaystyle f(x)=x^2e^x\), \(I=[-3,1]\)
  2. \(\displaystyle f(x)=|\sin(x)+\tfrac12|\), \(I=[-\frac{\pi}{2},\pi]\)
On a vu ici un algorithme qui mène au calcul du maximum et du minimum d'une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\).

On prendra garde à étudier les points \(x\) où \(\sin(x)+\frac12\) change de signe (s'il y en a). On récrira alors \(f\) plus explicitement en dehors de ces points, sans valeur absolue.

  1. \(f\) étant dérivable, elle est continue, et ses points stationnaires, s'il y en a, sont ceux où sa dérivée s'annule. Or \[ f'(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x\,.\] Cette dernière s'annulle en \(x=0\), où \(f(0)=0\), et en \(x=-2\), où \(f(-2)=4e^{-2}\).

    Sur les bords, \(f(-3)=9e^{-3}\), \(f(1)=e\). Ainsi, \(f\) atteint son minimum en \(x_*=0\). Aussi,
    • \(f(1)\gt f(-3)\) car \(e\gt 9e^{-3}\) (puisque \(e^4\gt 9\)), et
    • \(f(1)\gt f(-2)\) car \(e\gt 4e^{-2}\) (puisque \(e^3\gt 4\)).
    Donc \(f\) atteint son maximum en \(x^*=1\).
    Puisque \(f\) est continue, on a aussi que \(\mathrm{Im} (f)=[0,e]\).
  2. Commençons par remarquer que \(f\) est continue et que \(\sin(x)+\frac12=0\) si et seulement si \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\). Donc \[ \sin(x)+\tfrac12 \begin{cases} \lt 0&\text{ si }-\frac{\pi}{2}\leqslant x\lt -\frac{\pi}{6}\\ \geqslant 0&\text{ si }-\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant \pi\,, \end{cases} \] Ainsi, \[f(x)= \begin{cases} -(\sin(x)+\tfrac12)&\text{ si }-\frac{\pi}{2}\leqslant x\lt -\frac{\pi}{6}\\ \sin(x)+\tfrac12&\text{ si }-\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant \pi\,. \end{cases} \] Les points stationnaires de \(f\) sur \(]-\frac{\pi}{2},\pi[\) sont ceux où \(f\) n'est soit pas dérivable, soit dérivable de dérivée nulle. Or \[f'(x)= \begin{cases} -\cos(x)&\text{ si }-\frac{\pi}{2}\lt x\lt -\frac{\pi}{6}\\ \cos(x)&\text{ si }-\frac{\pi}{6}\lt x\lt \pi\,, \end{cases} \] qui donne comme unique point de \(]-\frac{\pi}{2},\pi[\) où \(f\) est dérivable et sa dérivée s'annule, \(f'(\frac{\pi}{2})=0\). De plus, \[\begin{aligned} \lim_{x\to-\frac{\pi}{6}^-}f'(x)&=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,,\\ \lim_{x\to-\frac{\pi}{6}^+}f'(x)&=+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,,\\ \end{aligned}\] et donc \(f\) n'est pas dérivable en \(-\frac{\pi}{6}\). Stationnaires: \(f(-\frac{\pi}{6})=0\), \(f(\frac{\pi}{2})=\frac32\).

    Sur le bord, \(f(-\frac{\pi}{2})=\frac12\), \(f(\pi)=\frac12\).

    On conclut que \(f\) atteint son minimum en \(x_*=-\frac{\pi}{6}\), et son maximum en \(x^*=\frac{\pi}{2}\).
    Puisque \(f\) est continue, on sait que \(\mathrm{Im} (f)=[0,\frac32]\).