9.12 Sur la recherche des extrema d'une fonction sur un intervalle \([a,b]\)

Passons maintenant à l'utilisation de la dérivée dans la recherche des extrema d'une fonction.

On sait que lorsque \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) est continue, elle atteint son minimum et son maximum:

Dans cette section, on décrit un algorithme qui permet (en principe) de trouver ces extrema par le calcul.

Considérons, pour fixer les idées, la recherche du maximum global d'une fonction \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\). On supposera que \(f\) est continue. Par simple observation, puisqu'on sait qu'il est atteint quelque part sur \([a,b]\), on peut facilement lister toutes les possibilités:

  1. Il peut être atteint sur les bords, en \(x=a\) ou en \(x=b\).
  2. Il peut être atteint à l'intérieur de l'intervalle, c.-à-d. dans \(]a,b[\). Mais comme c'est un maximum global, il est aussi local. Donc si \(f\) est dérivable en ce point, sa dérivée s'y annule. Et si elle n'est pas dérivable, on traite le cas séparément.

Cette simple distinction des cas nous mène directement à un algorithme pour la recherche du minimum et du maximum de \(f\):

  1. On commencera par chercher les points stationnaires, c'est-à-dire les points \(x\in ]a,b[\) où \(f\) est dérivable et s'annule: \(f'(x)=0\), ainsi que les points de \(]a,b[\) où \(f\) n'est pas dérivable.
  2. On regardera les valeurs de la fonction sur le bord de l'intervalle, en \(x=a\) et \(x=b\), et on les comparera avec les valeurs en chacun des points trouvés à l'étape précédente.
  3. Après avoir listé toutes ces valeurs, on garde la plus grande, et la plus petite.

Remarque: On a vu (dans Continuité sur un intervalle compact) que si \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) est continue, alors son ensemble image est un intervalle fermé et borné, donné par \[ \mathrm{Im} (f)= \bigl[ \min_{x\in [a,b]}f(x)\,,\,\max_{x\in [a,b]}f(x) \bigr]\,, \] et peut donc être trouvé à l'aide de l'algorithme décrit ci-dessus.

Exemple: Cherchons les extremas de la fonction \(f(x)=3x^4+4x^3-12x^2\) sur \([-1,2]\).

  1. Points stationnaires: \[\begin{aligned} f'(x)=12(x^3+x^2-2x)&=12x(x^2+x-2)\\ &=12x(x+2)(x-1)\,, \end{aligned}\] donc la dérivée est nulle en \(-2\not \in [-1,2]\), en \(0\in [-1,2]\) et en \(1\in [-1,2]\). On garde: \[ \boxed{f(0)=0\,\quad f(1)=-5} \]
  2. Sur les bords: \[ \boxed{f(-1)=-13,\,\quad f(2)=32} \]
En comparant les quatre valeurs encadrées ci-dessus, on voit que
En particulier, \[ \mathrm{Im} (f)=[-13,32]\,. \]

Exemple: Considérons \(f(x)=|x^2(x-2)|\) sur l'intervalle \([1,3]\). Comme \(f:[1,3]\to \mathbb{R}\) est continue, elle atteint son minimum et son maximum. On commence par écrire \[ |x^2(x-2)|= \begin{cases} -x^2(x-2)&\text{ si }x\in [1,2]\,,\\ x^2(x-2)&\text{ si }x\in ]2,3]\,. \end{cases} \]

  1. Points stationnaires: Sur \(]1,2[\), \(f'(x)=x(4-3x)\), donc deux points où la dérivée s'annule, en \(0\not \in ]1,2[\) et en \(\frac43\in]1,2[\): \[ \boxed{f(\tfrac43)=\frac{32}{27}} \] Sur \(]2,3[\), \(f'(x)=x(3x-4)\), donc ne s'annule pas.
  2. Points où \(f\) n'est pas dérivable? Seul candidat: \(x=2\). En effet, \[\begin{aligned} \lim_{x\to 2^-}f'(x)&=\lim_{x\to 2^-}(x(4-3x))=-4\\ \lim_{x\to 2^+}f'(x)&=\lim_{x\to 2^+}(x(3x-4))=+4 \end{aligned}\] Donc on garde \[ \boxed{f(2)=0} \]
  3. Sur les bords: \[ \boxed{f(1)=1\,\quad f(3)=9} \]
On conclut que \(f\)
Remarquons qu'en \(x=\frac43\), \(f\) possède un maximum, qui est local mais pas global.

On a aussi montré que \[ \mathrm{Im} (f)=[0,9] \]

Quiz 9.12-1 : Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue. Vrai ou faux?
  1. Si \(x_0\in ]a,b[\) est un point stationnaire de \(f\), alors \(x_0\) est soit un minimum local, soit un maximum local.
  2. Le nombre de points stationnaires de \(f\) dans \(]a,b[\) est fini.
  3. Si \(f\) possède une infinité de points stationnaires dans \(]a,b[\), alors \(f\) atteint son maximum en une infinité de points.
  4. Si \(f\) possède dans \(]a,b[\) plus de points stationnaires que de points où elle n'est pas dérivable, alors elle atteint son minimum et son maximum en un point stationnaire.

Dernière compilation: 2024-12-04 (07:30:07)

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