Exercice 09-12
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(x_0\in \mathbb{R}\).
Calculer, en fonction de \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\), la limite
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}{h}\,.
\]
On a défini
ici la notion de dérivée
d'une fonction \(f\) en un point \(x_0\), via le nombre \(f'(x_0)\).
Il s'agit donc de voir comment la limite demandée est reliée à
\(f'(x_0)\), \(\alpha\) et \(\beta\).
Pour commencer.
Considérer d'abord les cas 1) \(\beta=0\), 2) \(\alpha=0\).
Rappelons que la dérivabilité de
\(f\) en \(x_0\) garantit l'existence de la limite
\[
f'(x_0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}\,.
\]
- Si \(\alpha\neq 0\) et \(\beta= 0\), la limite devient
\[\begin{aligned}
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0)}{h}
&=
\alpha\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0)}{\alpha h}\\
&=
\alpha\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}\\
&=\alpha f'(x_0)
\end{aligned}\]
Dans la deuxième égalité, on a posé \(t=\alpha h\).
- Si \(\alpha= 0\) et \(\beta\neq 0\), la limite devient
\[\begin{aligned}
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0)-f(x_0-\beta h)}{h}
&=
\beta \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0-\beta h)-f(x_0)}{-\beta h}\\
&= \beta \lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t)-f(x_0)}{t}\\
&=\beta f'(x_0)
\end{aligned}\]
Dans la deuxième égalité, on a posé \(t=-\beta h\).
- On peut écrire, lorsque \(\alpha\neq 0\) et \(\beta\neq 0\),
\[\begin{aligned}
\frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}{h}=\\
\alpha\frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0)}{\alpha h}
+&\beta\frac{f(x_0-\beta h)-f(x_0)}{-\beta h}
\end{aligned}\]
Or comme on vient de voir,
\[
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0)}{\alpha h}
=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x_0-\beta h)-f(x_0)}{-\beta h}
=f'(x_0)\,,
\]
ce qui donne
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}{h}=(\alpha+\beta)f'(x_0)
\]
Donc la limite vaut, pour tous \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\),
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}{h}
=(\alpha+\beta)f'(x_0)\,.
\]