Une question géométrique naturelle, et très utile pour l'étude d'une fonction, est de savoir comment calculer l'équation de la droite tangente au graphe d'une fonction, en un point \((x_0,f(x_0))\):
Pour connaître l'équation de cette droite, de la forme
\[y=mx+h\,,\]
on commence par chercher sa pente \(m\).
Et quand on cherche la pente d'une droite, on a besoin de deux
points sur cette droite et ici, on n'en a qu'un, à savoir le point
\((x_0,f(x_0))\).
L'idée est de passer par un processus de limite.
En effet, introduisons un deuxième point sur le graphe, \((x,f(x))\), où
\(x\) est un point différent de \(x_0\), et considérons la sécante
passant par les points \((x_0,f(x_0))\) et \((x,f(x))\).
La pente de cette sécante est donnée par
\[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,.
\]
Lorsque \(x\) est proche de \(x_0\), cette
pente approxime celle de la droite
que l'on cherche, \(m\).
Dans la limite \(x\to x_0\) (tester sur l'animation ci-dessus), elle devrait même tendre
exactement vers \(m\):
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=m\,.
\]
L'existence de la limite ci-dessus n'est pas garantie en générale.
Remarque: Dans la limite qui définit \(f'(x_0)\), ci-dessus, la variable \(x\) est utilisée uniquement pour calculer la limite; on dit qu'elle est muette. On donc peut écrire \(f'(x_0)\) de différentes manières: \[\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{z\to x_0}\frac{f(z)-f(x_0)}{z-x_0}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,, \end{aligned}\] où, dans la dernière égalité, on a fait le changement de variable \(h:= z-x_0\).
Exemple: Soit \(f(x)=x^2\). Au point \(x_0=1\), \[ f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=2\,. \]
Donc la tangente à la parabole au point d'abscisse \(x_0=1\) a une pente de \(2\). Son équation est donc de la forme \(y=2x+b\), et comme elle doit passer par le point \((1,f(1))=(1,1)\), on trouve \(b=-1\). Donc la tangente au point \((1,1)\) a pour équation \(y=2x-1\).
Exemple: Soit \(f(x)=\frac{1}{x}\). Au point \(x_0=-2\), \[ f'(-2) =\lim_{x\to -2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)} =\lim_{x\to -2}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{-2}}{x+2} =-\frac14\,. \]
Voyons quelques exemples de fonctions qui ne sont pas dérivables.
Exemple: Considérons \(f(x)=|x|\). Au point \(x_0=0\), la dérivée s'obtient en prenant la limite \(x\to 0\) du rapport \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|}{x}= \begin{cases} -1&\text{ si }x<0\,,\\ +1&\text{ si }x>0\,.\\ \end{cases} \] Or ce signe n'a pas de limite quand \(x\to 0\), donc \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\). Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu'en ce point son graphe ne possède pas de droite tangente naturellement définie:
Exemple: Considérons \(f(x)=\sqrt[3]{x}\). Au point \(x_0=0\), la dérivée s'obtient en prenant la limite \(x\to 0\) du rapport \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}= \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\,. \] Or cette limite est \(+\infty\), donc \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\). Cela fait sens du point de vue géométrique, puisqu'en ce point son graphe possède une droite tangente, mais verticale (de pente infinie):
Exemple: Considérons \[ f(x)= \begin{cases} x\sin(\frac1x)&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x= 0\,. \end{cases} \] Au point \(x_0=0\), le rapport donnant la droite de la sécante est \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\sin(\tfrac1x)\,, \] qui comme on le sait ne possède pas de limite lorsque \(x\to 0\). Donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\):
De par sa signification géométrique, la dérivée est toujours une limite d'un quotient de deux quantités qui tendent vers zéro. (C'est pour ça que les indéterminations ''\(\frac00\)'' sont si importantes!) \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,. \] Interprétons cette limite en introduisant des nouvelles notations:
D'un point de vue quantitatif, ces deux incréments sont petits lorsque \(x\) est proche de \(x_0\); \(\Delta f\) dit exactement de combien \(f\) varie lorsque \(x\) s'écarte de \(x_0\) d'une distance \(\Delta x\):
Ensuite, l'existence de la dérivée, \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{\Delta f}{\Delta x}\,, \] signifie que quand l'incrément \(\Delta x\) est petit, alors \(\Delta f\) est essentiellement proportionnel à \(\Delta x\), la constante de proportionnalité étant \(f'(x_0)\): \[ \Delta f\simeq f'(x_0)\Delta x \] On conclut que la dérivée \(f'(x_0)\) représente le taux d'accroissement local de \(f\) en \(x_0\): si on varie la variable de \(x_0\) à \(x_0+\Delta x\), alors la valeur de la fonction passe de \(f(x_0)\) à \(f(x_0)+\Delta f\), où \(\Delta f\) est essentiellement proportionnel à \(\Delta x\), comme dans la relation ci-dessus.
\(\bigstar\) Si on admet pendant un instant qu'il est possible de considérer des incréments infiniment petits, de la fonction et de la variable, que l'on notera respectivement \(df\) et \(dx\), alors la dérivabilité de \(f\) en \(x_0\) signifie que ces deux infiniment petits sont proportionnels, la constante de proportionalité étant précisément la dérivée en \(x_0\): \[df=f'(x_0)dx\,.\] La notation suivante, appelée notation de Leibniz, est donc naturelle: \[ f'(x_0) =\frac{df}{dx}(x_0) \]
On l'a dit, pour que \(f\) soit dérivable en \(x_0\), il faut que sa droite tangente soit bien définie; elle doit être assez lisse en \(x_0\). En particulier, son graphe ne peut pas faire de saut en \(x_0\):
Lemme: Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) alors elle est continue en \(x_0\).
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors en multipliant et divisant par \(x-x_0\), \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) &= \lim_{x\to x_0}\Bigl[ \underbrace{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}_{\to f'(x_0)}\Bigr] \underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}\\ &=f'(x_0)\cdot 0\\ &=0\,. \end{aligned}\] Donc \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\), et donc \(f\) est continue en \(x_0\).
Remarque: Attention, la réciproque de l'affirmation du lemme n'est pas vraie. C'est-à-dire que ''continuité'' n'implique pas ''dérivabilité''. Par exemple, on a vu que \(f(x)=|x|\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\), pourtant elle est bien continue en ce point.
\(\bigstar\)
Les exemples ci-dessus ont montré
comment construire une fonction qui est continue
mais pas dérivable en un point.
Il est naturel de se poser la question de savoir
s'il existe des fonctions qui sont continues mais pas dérivable
en tout point.
Considérons
\[ f(x):=
\sum_{n\geqslant 0} \frac{\cos(9^nx)}{2^n}\,.
\]
Puisque
\[ 0\leqslant \left|\frac{\cos(9^nx)}{2^n}\right|
\leqslant \frac{1}{2^n}\,,
\]
cette fonction est définie pour tout \(x\in \mathbb{R}\). Avec un peu plus de travail,
on peut montrer que cette fonction est aussi continue sur \(\mathbb{R}\). Et avec
encore un peu plus de travail, on peut montrer que cette fonction n'est
dérivable en aucun point de \(\mathbb{R}\).
() le nombre \(f(x_0)\) est bien défini
() \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}=f'(x_0)\)
() \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(2x_0+h)-f(2x_0)}{h}=2f'(x_0)\)
() \(\displaystyle \lim_{z\to x_0}\frac{f(z)-f(x_0)}{z-x_0}=f'(x_0)\)
() \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h^2)-f(x_0)}{h}=0\)
() \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)^2-f(x_0)^2}{h}=f'(x_0)^2\)
() VRAI
() FAUX
() \(f\) est continue en \(x_0\).
() Si \(f(x_0)=2\), alors \(f'(x_0)=0\).
() ⚡ \(f\) est dérivable dans tout un voisinage de \(x_0\).
() \(f\) est continue dans un voisinage de \(x_0\).
() Il existe \(\delta>0\) tel que sur \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\),
le graphe de \(f\) est une droite.
() Il existe \(\delta>0\) tel que sur \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\),
\(f\) est monotone.