- On étudie \[ f'(-1)= \lim_{x\to -1} \frac{\frac{1}{1-x^3}-\frac{1}{2}}{x+1} = \lim_{x\to -1} \frac{1+x^3}{2(x+1)(1-x^3)}\,. \] Cette dernière limite est de la forme ''\(\frac00\)''. Puisque le numérateur s'annule en \(x=-1\), on peut faire la division polynomiale de \(x^3+1\) par \(x+1\) (et on sait par le théorème fondamental de l'algèbre qu'il n'y aura pas de reste): \[x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\,.\] Ainsi, \[ \lim_{x\to -1} \frac{1+x^3}{2(x+1)(1-x^3)} = \lim_{x\to -1} \frac{x^2-x+1}{2(1-x^3)}=\frac34\,. \] Donc \(f\) est dérivable en \(x_0=-1\), et sa dérivée vaut \(f'(-1)=\frac34\).
- \(f\) est dérivable en \(x_0=1\), puisque \[\begin{aligned} f'(1)= \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}}{x-1} &= \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{(x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2})}\\ &= \lim_{x\to 1} \frac{x+1}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,. \end{aligned}\]
- On a \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{|x|\sin (x)}{x}\,. = \lim_{x\to 0} |x| \frac{\sin (x)}{x}\,. \end{aligned}\] Comme \(|x|\to 0\), et \(\frac{\sin(x)}{x}\to 1\), on a \[ \lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}\sin (x)=0\,. \] On en déduit que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\), et que \(f'(0)=0\).
-
Rappelons que
\[
|x-1|=
\begin{cases}
+(x-1) &\text{ si } x\geqslant 1\,,\\
-(x-1) &\text{ si } x\lt 1\,.
\end{cases}
\]
On peut donc écrire
\[
f(x)=
\begin{cases}
\sqrt{2x-1}&\text{ si }x\geqslant 1,\\
1&\text{ si }x<1\,.
\end{cases}
\]
(Ceci implique en particulier que \(D_f=\mathbb{R}\).)
On a d'une part
\[
\lim_{x\to 1^-}
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}
\frac{1-1}{x-1}=0\,,
\]
et d'autre part
\[
\lim_{x\to 1^+}
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=
\lim_{x\to 1^+}
\frac{\sqrt{2x-1}-1}{x-1}=1\,.
\]
On en conclut que la limite
\[
\lim_{x\to 1}
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
\]
n'existe pas, et donc que \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0=1\).
-
Comme \(f(0)=0\), on a
\[\begin{aligned}
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&= \frac{f(x)}{x} \\
&=
\frac{2^x-1}{x}(2^x-2)\cdots(2^x-100)
\end{aligned}\]
D'une part,
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 0} ((2^x-2)\cdots&(2^x-100))\\
&=(-1)(-2)\cdots(-98)(-99)\\
&=(-1)^{99}1\cdot 2\cdots 98\cdot 99=-99!\,,
\end{aligned}\]
et de l'autre,
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}
&=\lim_{x\to 0} \frac{e^{\log(2)x}-1}{x} \\
&=\log(2)\lim_{x\to 0} \frac{e^{\log(2)x}-1}{\log(2)x} \\
&=\log(2)\lim_{y\to 0} \frac{e^{y}-1}{y} \\
&=\log(2)\,.
\end{aligned}\]
Donc \(f\) est dérivable en \(0\), et \(f'(0)=-99!\log(2)\)
Cet exemple, emprunté à blackpenredpen, montre que parfois, il peut être plus efficace de calculer une dérivée à l'aide de la définition de dérivée, plutôt que d'utiliser les règles de dérivation.