Pour montrer qu'une fonction est constante sur un intervalle ouvert, Une fois qu'on sait qu'une fonction est constante,

Remarquons pour commencer que \(f(x)=\arctan(x)+\arctan(1/x)\) est dérivable en tout \(x\neq 0\), et \[ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+(\frac1x)^2}\cdot (-\frac{1}{x^2})=0\,. \] En considérant par exemple \(f\) sur l'intervalle \(]0,+\infty[\), on peut appliquer un théorème vu au cours: sa dérivée étant nulle sur l'intervalle, il existe une constante \(C\) telle que \(f(x)=C\) pour tout \(x\in ]0,\infty[\). On trouve la valeur de cette constante en calculant par exemple \[ C=f(1)=2\arctan(1)=\frac{\pi}{2}\,. \] En procédant de même sur \(]-\infty,0[\), on trouve que \(f(x)=-\frac{\pi}{2}\) pour tout \(x< 0\).