Montrer que pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\),
\[
e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^k}{k!}\,,\quad
\forall x\geqslant 0
\]
Pour commencer
Poser, pour tout \(k\geqslant 1\),
\[
f_k(x):=
e^{x}-
\Bigl\{
1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{k}}{k!}
\Bigr\}\,,
\]
Puis, montrer que pour tout \(k\geqslant 1\),
\[f_k(x)\geqslant 0\,\quad \forall x\geqslant 0\,.\]
...
On a vu
ici (dans Conséquence 1)
que l'inégalité est vraie pour \(k=1\). On pourra donc essayer de démontrer
l'affirmation par récurrence sur \(k\).
Posons
\[
f_k(x):=
e^{x}-
\Bigl\{
1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{k}}{k!}
\Bigr\}\,.
\]
On aimerait montrer que pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\),
\[f_k(x)\geqslant 0\,\quad \forall x\geqslant 0\,.\]
On a vu au cours que cette inégalité est vraie pour \(k=1\)
Montrons que si l'inégalité est vraie pour \(k\), alors elle est vraie pour
\(k+1\).
Remarquons d'abord que \(f_{k+1}(0)=0\). Ensuite,
en dérivant par rapport à \(x\),
\[\begin{aligned}
f_{k+1}'(x)
&=
e^{x}-
\Bigl\{
0+1+2\cdot \frac{x}{2!}x+\cdots +(k+1)\frac{x^{k}}{(k+1)!}
\Bigr\}\\
&=
e^{x}-
\Bigl\{
+1+x+\cdots +\frac{x^{k}}{k!}
\Bigr\}\\
&=f_k(x)\,,
\end{aligned}\]
qui est \(\geqslant 0\) par l'hypothèse de récurrence.
Comme conséquence du TAF (voir la
Conséquence 1),
\(f_{k+1}\) est donc croissante sur \([0,+\infty[\), ce qui implique
\(f_{k+1}(x)\geqslant f_{k+1}(0)=0\).