Exercice 09-10
Montrer que les équations (non linéaires) ci-dessous admettent des solutions:
  1. \(e^{x-1}=x+1\),
  2. \(x^2-\dfrac{1}{x}=1\).
On a vu au cours comment montrer qu'une équation non-linéaire, par exemple \[ \cos(x)=x\,, \] possède au moins une solution. Ici, on pourra procéder de la même façon, en mettant en place un cadre dans lequel on peut utiliser le Théorème des valeurs intermédiaires.

Chercher une solution à une équation du type \(g(x)=h(x)\) est équivalent à chercher une solution à \(f(x)=0\), où \(f(x)=g(x)-h(x)\).

Lorsqu'on a une fonction continue \(f(x)\) et qu'on cherche un \(x\) pour lequel \(f(x)=0\), le Théorème des valeurs intermédiaires suggère de chercher un intervalle \([a,b]\) dans lequel \(f\) doit subir un changement de signe, c'est-à-dire tel que \(f(a)\lt 0\lt f(b)\) ou \(f(b)\lt 0\lt f(a)\).

Restreindre d'abord la fonction \(f\) à un intervalle sur lequel elle est continue et a des chances de s'annuler.

  1. Pour utiliser le théorème de la valeur intermédiaire, on doit définir une fonction continue à partir de l'équation donnée. En l'occurrence, soit \[f(x)=e^{x-1}-x-1\,.\] Alors \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), et comme \(e=2.718\ldots\), on a \[\begin{aligned} f(2)&=e-3<0\,,\\ f(3)&=e^2-4>0 \end{aligned}\] Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à \(f\) sur \([2,3]\), il existe \(c\in]2,3[\) tel que \(f(c)=0\).

    Remarquons que l'équation donnée admet une deuxième solution (mais il suffit de montrer l'existence d'une). En effet, on a \(f(0)=\frac{1}{e}-1<0\) et \(f(-1)=\frac{1}{e^2}>0\) et donc par le théorème de la valeur intermédiaire il existe \(c'\in]-1,0[\) tel que \(f(c')=0\).
  2. Posons \[ f(x)=x^2-\frac{1}{x}-1\,, \] et cherchons un point \(x\) où elle s'annulle. Comme \(f\) n'est pas définie en \(x=0\), il faut la considérer soit sur \(]-\infty,0[\,\) soit sur \(]0,\infty[\).

    Remarquons que si \(x<0\), on a \(x^2-\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{|x|}>1\) car un des deux termes est toujours \(\geqslant 1\) et donc \(f(x)\gt 0\): \(f\) ne s'annulle pas sur \(]-\infty,0[\).

    Donc on étudie \(f\) sur \(]0,\infty[\). On remarque alors que \[\begin{aligned} f(1)&=1^2-1-1<0\,,\\ f(2)&=4-\tfrac12-1>0\,. \end{aligned}\] Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à \(f\) sur \([1,2]\), il existe \(c\in]1,2[\) tel que \(f(c)=0\).