Exercice 08-10
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= \begin{cases} x^2-2x&\text{ si }x\leqslant 1\,,\\ \frac{x+2}{x}&\text{ si }x>1\,. \end{cases} \]
  1. Si \(x_n=1-\frac{1}{n}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(x_n)\).
  2. Si \(y_n=1+\frac{1}{n}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(y_n)\).
  3. Si \(z_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(z_n)\).
Que concluez-vous?
On a vu ici (Lemme sur le critère via les suites) qu'on peut définir, si on le désire, la limite d'une fonction en un point \(x_0\) à l'aide de suites qui tendent vers \(x_0\).

Dans cet exercice, on étudie le comportement de \(f\) dans un voisinage de \(x_0=1\), en considérant trois suites particulières:
  1. une suite \((x_n)\) qui s'approche de \(1\) par la gauche,
  2. une suite \((y_n)\) qui s'approche de \(1\) par la droite,
  3. une suite \((z_n)\) qui s'approche de \(1\) en changeant de côté à chaque \(n\).
  1. Remarquons que \(x_n<1\) pour tout \(n\), et donc \[ f(x_n)=x_n^2-2x_n=-1+\frac{1}{n^2}\,, \] ce qui donne \[ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=-1\,. \]
  2. Ensuite, \(y_n>1\) pour tout \(n\) et donc \[ f(y_n)=\frac{y_n+2}{y_n}=1+\frac{2n}{n+1}\,, \] ce qui donne \[ \lim_{n\to\infty}f(y_n)=3\,. \]
  3. Remarquons que \[\begin{aligned} f(z_n) &= \begin{cases} f(1+\frac{1}{n})&\text{ si n est pair}\,,\\ f(1-\frac{1}{n})&\text{ si n est impair}\,, \end{cases}\\ &= \begin{cases} 1+\frac{2n}{n+1}&\text{ si n est pair}\,,\\ -1+\frac{1}{n^2}&\text{ si n est impair}\,. \end{cases} \end{aligned}\] Puisque l'on observe que \(f(z_{2k})\to 3\) et \(f(z_{2k+1})\to 1\), on en déduit que \(f(z_n)\) n'a pas de limite lorsque \(n\to \infty\).
Comme on a deux suites \(x_n\to 1\), \(y_n\to 1\) telles que \[\lim_{n\to \infty} f(x_n)\neq \lim_{n\to \infty} f(y_n)\,,\] (et même une troisième suite \((z_n)\) le long de laquelle on n'a même pas existence de la limite,) on conclut par le lemme (Critère d'existence via les suites) que \(f(x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to 1\).