Toutes ces équations sont de la forme
\[
z^n=\omega\,,
\]
et trouver toutes les solutions
\(z\in \mathbb{C}\) de cette équation signifie en fait
calculer les
racines \(n\)èmes de \(\omega\), comme
vu au cours.
Pour 2.
Chercher les racines de deux façons différentes;
''cartésienne'' et ''polaire''.
On a
vu au cours que
pour trouver les racines \(n\)èmes de \(\omega\), on peut commencer par
mettre \(\omega\) sous forme polaire/exponentielle,
\(\omega=se^{\mathsf{i} \varphi}\). Ensuite, les racines sont
\[
z_k=\sqrt[n]{s}e^{\mathsf{i} \frac{\varphi+2k\pi}{n}}\,\quad
k\in\{0,1,2,\dots,n-1\}\,.
\]
- Sous forme polaire, \(\omega=1=1\cdot e^{\mathsf{i} 0}\), donc les racines
\(5\)èmes sont
\[z_{k}=e^{\mathsf{i}\frac{2\pi k}{5}}\,,\qquad k\in \{0,1,2,3,4\}\,.\]
Celles-ci sont les sommets d'un pentagone centré à l'origine, de rayon \(1\):
- Écrivons \(\omega=-3+4\mathsf{i}\) sous forme polaire/exponentielle. Puisque
\(|\omega|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\), on l'écrit comme
\[ \omega=5\left(\frac{-3}{5}+\mathsf{i} \frac{4}{5}\right)
\]
Considérons un angle \(\theta\) qui
satisfait \(\cos(\theta)=-\frac{3}{5}\) et
\(\sin(\theta)=\frac{4}{5}\).
Puisque \(\cos(\theta)\lt 0\) et \(\sin(\theta)\gt 0\), on peut choisir cet
angle tel que
\(\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi\),
Ainsi, si on veut l'exprimer précisément: \(\theta=\arccos(-3/5)\).
Maintenant,
\[
\omega=5e^{\mathsf{i} \theta}\,,
\]
et ses racines carrées sont
\[
z_k=\sqrt{5}\,e^{\mathsf{i}(\frac{\theta}{2} + \pi k)}\,\quad k\in\{0,1\}\,,
\]
c'est-à-dire
\[
z_0=+\sqrt{5}e^{\mathsf{i}\frac{\theta}{2}}\,,\qquad
z_1=-\sqrt{5}e^{\mathsf{i}\frac{\theta}{2}}\,.\qquad
\]
Puisque \(\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi\),
on a \(\frac{\pi}{4}\lt \frac{\theta}{2}\lt \frac{\pi}{2}\), ce qui
implique que
\(\cos(\frac{\theta}{2})\gt 0\) et \(\sin(\frac{\theta}{2})\gt 0\).
On peut être plus explicite en utilisant la relation trigonométrique
\[
\cos^2(\theta/2)=\frac{1+\cos(\theta)}{2}=\frac{1-\frac35}{2}=\frac{1}{5}\,
\]
donc
\(\cos(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}\) et
\(\sin(\frac{\theta}{2})=\frac{2}{\sqrt{5}}\), ce qui donne comme solutions
\[z_0=1+2\mathsf{i}, \qquad z_1=-1-2\mathsf{i}\,.\]
On tombe directement sur cette solution explicite en utilisant des
coordonnées cartésiennes.
En effet, en posant \(z=a+\mathsf{i} b\), l'équation donnée devient
\[a^2-b^2+2ab\mathsf{i}=-3+4\mathsf{i}\,,\]
qui mène au système
\[
\begin{cases}
a^2-b^2= & -3 \\
2ab =& 4
\end{cases}
\]
La deuxième équation implique que \(a\) et \(b\) sont non-nuls et donc
\(b=\frac{2}{a}\). En insérant dans la première équation on obtient
\[
a^2-\frac{4}{a^2}=-3
\,\Leftrightarrow\,a^4 + 3a^2 -4 = 0
\, \Leftrightarrow
\, a^2\in \{1,-4\}
\]
Puisque \(a\in\mathbb{R}\),
seulement la première solution est possible; on a donc
\(a=+1\) (et dans ce cas \(b=+2\))
ou alors \(a=-1\) (et dans ce cas \(b=-2\)).
Ainsi les solutions de l'équation initiale sont
\(z_{1}=1+2\mathsf{i}\) et \(z_{2}=-1-2\mathsf{i}\) (ce qui est bien sur la figure du
dessus).
- Puisque \(\omega=-2\mathsf{i}=2e^{\mathsf{i} \frac{3\pi}{2}}\), on a
\[
z_k=\sqrt[4]{2}e^{\mathsf{i}(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{2}k)}\quad k\in
\{0,1,2,3\}\,.\]
Ces racines sont situées sur les sommets d'un carré:
-
Comme
\[\omega=-\sqrt{3}+\mathsf{i}=2(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{\mathsf{i}}{2})=
2e^{\mathsf{i}(\frac{5\pi}{6})}\,,\]
les racines sont
\[z_k=\sqrt[3]{2}\,e^{\mathsf{i}(\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}k)}\,,\quad
k\in \{0,1,2\}\,.\]
En remarquant que \(\frac{5\pi}{18}\) correspond à un angle de \(50^{\circ}\),