Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

2.5 Racines de nombres complexes

Un autre avantage de travailler avec la forme polaire/exponentielle est qu'elle fournit une approche rigoureuse dans la recherche des racines d'un nombre complexe.

Soit \(\omega\in \mathbb{C}\) et \(n\in \mathbb{N}\) un entier. Un complexe \(z\in \mathbb{C}\) qui satisfait \[z^n=\omega\,\] est appelée racine \(n\)-ème de \(\omega\).

Remarquons que \(\omega=0\) ne possède qu'une seule racine, car \(z^n=0\) n'a qu'une seule solution: \(z=0\). Mais un complexe \(\omega\neq 0\) possède exactement \(n\) racines \(n\)-èmes:

Théorème: Soit \(\omega=se^{\mathsf{i} \varphi}\), \(s>0\). Si \(n\in \mathbb{N}_*\), alors les racines \(n\)-èmes de \(\omega\) sont données par \[ \bigl\{ z_k=\sqrt[n]{s}\cdot e^{\mathsf{i} \frac{\varphi+2k\pi}{n}}\,:\,k=0,1,2,\dots,n-1 \bigr\} \]

Preuve:

En écrivant \(z=re^{\mathsf{i} \theta}\), par de Moivre, \(z^n=r^ne^{\mathsf{i} n\theta}\). Donc, \(z^n=\omega\) si et seulement si \(r^ne^{\mathsf{i} n\theta}=se^{\mathsf{i} \varphi}\), ce qui entraîne \[ r^n=s\,,\qquad n\theta=\varphi+2k\pi\,,\] où \(k\) est arbitraire, ce qui donne \[ r=\sqrt[n]{s}\,,\qquad \theta=\frac{\varphi+2k\pi}{n}\,.\] Remarquons que les entiers \(k\) qui donnent des solutions distinctes sont \(k=0,1,2,\dots,n-1\).

Par l'expression ci-dessus, on voit que les racines \(n\)-èmes de \(\omega\) sont réparties sur un cercle de rayon \(\sqrt[n]{s}\), aux sommets d'un polygone régulier.

Exemple: Calculons les racines \(2\)-èmes (appelées aussi racines carrées) de \(-1+\mathsf{i}\): \[ z^2=-1+\mathsf{i} \] Comme ici \(\omega=-1+\mathsf{i}=\sqrt{2}\cdot e^{\mathsf{i} \frac{3\pi}{4}}\), les racines sont \[ z_k =\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{2}} =\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{3\pi}{8}+k\pi}\,,\qquad k=0,1\,, \] c'est-à-dire \[ z_0=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{3\pi}{8}}\,,\qquad z_1=\sqrt[4]{2}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{11\pi}{8}}\,. \] Les racines \(z_0\) et \(z_1\) sont sur un cercle de rayon \(\sqrt[4]{2}\), et leur carré est bien égal à \(\omega=-1+\mathsf{i}\) (sur l'animation ci-dessous, déplacer \(z\) de façon à ce que \(z^2=-1+\mathsf{i}\)):

Si \(z^2=-1+\mathsf{i}\), on pourrait être tenté d'écrire \(z=\pm\sqrt{-1+\mathsf{i}}\). On évitera pourtant d'utiliser le symbole ''\(\sqrt{\phantom{\cdots}}\)'' pour les nombres complexes, la fonction ''racine carrée'' \(z\mapsto \sqrt{z}\) étant une fonction qu'il est délicat de définir rigoureusement sur tout \(\mathbb{C}\).

Exemple: Calculons les racines cubiques de \(\mathsf{i}\): \[ z^3=\mathsf{i}\,. \] Comme \(\mathsf{i}=1\cdot e^{\mathsf{i} \frac{\pi}{2}}\), les racines sont \[ z_k =\sqrt[3]{1}\cdot e^{\mathsf{i}\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}} =e^{\mathsf{i}(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3})}\,,\qquad k=0,1,2\,, \] c'est-à-dire \[\begin{aligned} z_0=e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{6}}\,,\qquad z_1=e^{\mathsf{i}\frac{5\pi}{6}}\,,\qquad z_2=e^{\mathsf{i}\frac{3\pi}{2}}\,. \end{aligned}\] Ces racines sont sur le cercle trigonométrique, aux sommets d'un triangle équilatéral, rendu visible sur cette animation:

Exemple: Calculons les racines sixièmes de l'unité, c'est-à-dire les solutions de \[ z^6=1\,. \] Sous forme polaire, \(1=1e^{\mathsf{i} 0}\), et donc ses racines sixièmes sont \[ z_k=\sqrt[6]{1}\cdot e^{\mathsf{i} \frac{0+2k\pi}{6}} =e^{\mathsf{i}\frac{k\pi}{3}}\,,\qquad k=0,1,2,3,4,5\,. \]

Quiz 2.5-1 : Vrai ou faux?

Si \(\omega\in \mathbb{C}\) est non-nul, et si \(n\in\mathbb{N}^*\), alors l'équation \(z^n=\omega\) possède exactement \(n\) racines distinctes.
Si \(f(z)\neq 0\) pour tout \(z\), et si \(n\in\mathbb{N}^*\), alors l'équation \(z^n=f(z)\) possède exactement \(n\) racines distinctes.