Exercice 01-03
Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) bijective et impaire. Montrer que sa réciproque \(f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est aussi impaire.
Rappelons qu'une fonction est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\). (On y reviendra ici.)

\[ f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)\,\quad \forall y\in \mathbb{R}\,. \]

on peut fixer \(y\) et définir \(x:= f^{-1}(y)\). Utiliser le fait que \(f\) est impaire avec ce \(x\).

(ATTENTION: Cette solution est différente de celle fournie la première fois.)

Il s'agit de vérifier que \[ f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)\,\quad \forall y\in \mathbb{R}\,. \] Fixons un \(y\in \mathbb{R}\), et définissions \[ x:= f^{-1}(y)\,. \] Puisque \(f\) est impaire, on sait que \[ f(-x)=-f(x)\,. \] En appliquant \(f^{-1}\) de part et d'autre de cette dernière, elle devient \[ f^{-1}(f(-x))=f^{-1}(-f(x))\,. \] Par définition de la réciproque, le côté gauche est égal à \(-x\), qui est \(-f^{-1}(y)\). Par la définition de \(x\) (voir ci-dessus), on peut remplacer \(f(x)=y\), et donc le côté droit est égal à \(f^{-1}(-y)\). Ceci montre bien que \(-f^{-1}(y)=f^{-1}(-y)\).