Montrons d'abord que \(f\) est surjective. Pour cela, on fixe \(y\in \mathbb{R}_+^*\), et on doit vérifier qu'il existe au moins un \(x\in \mathbb{R}\) solution de \[ f(x)=y\,, \] c'est-à-dire de \[ \frac{3^x+2}{3^{-x}}=y\,. \] Cette équation est équivalente à \[ (3^x)^2+2\cdot 3^x-y=0\,, \] que l'on peut interpréter comme une équation du deuxième degré en la variable \(X=3^x\): \[ X^2+2X-y=0\,. \] Cette équation a pour solutions \[X=-1\pm \sqrt{1+y}\,.\] Remarquons que comme \(y\gt 0\), \(-1-\sqrt{1+y}\lt 0\) et \(-1+\sqrt{1+y}\gt 0\). Puisque \(X=3^x\) ne prend que des valeurs strictement positives, le cas ''\(-\)'' ne donne pas de solution, et on ne peut sélectionner que la solution avec le ''\(+\)''. Comme \(X=3^x\) si et seulement \(x=\log_3(X)\) (voir ici), on en déduit que \(x=\log_3(-1+\sqrt{1+y})\) est l'unique antécédent de \(y\); on a donc montré par la même occasion que \(f\) est injective.

Ainsi, \(f\) est une bijection, et sa réciproque est donnée par \[\begin{aligned} f:\mathbb{R}_+^*&\to \mathbb{R}\\ y&\mapsto f^{-1}(y)=\log_3(-1+\sqrt{1+y})\,. \end{aligned}\]