Séance Contact 07, Lundi 4 nov

Communications:
Exercices



Exercice 1: Déterminer l'ensemble de définition \(D\) de chacune des fonctions ci-dessous.
  1. \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x^2-1}}\),
  2. \(\displaystyle f(x)=\sum_{n\geqslant 4}(x^2-2)^n\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=7}^{\infty}\frac{xn^2+2}{n^2+1}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{x^{\log(n)}}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^n\)

  1. La série est du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\), avec \(p=p(x)=x^2-1\), donc elle converge si et seulement si \(p(x)\gt 1\), ce qui signifie \(x\in D\) où \(D=]-\infty,-\sqrt{2}[\cup]\sqrt{2},+\infty[\).
  2. Cette série est géométrique de raison \(r(x)=x^2-2\), et donc converge si et seulement si \(|r(x)|\lt 1 \), c'est-à-dire \[\begin{aligned} |x^2-1|\lt 1 &\quad\Leftrightarrow\quad -1\lt x^2-2\lt 1\\ &\quad\Leftrightarrow\quad 1\lt x^2\lt 3\\ &\quad\Leftrightarrow\quad x\in D\,, \end{aligned}\] où \(D=]-\sqrt{3},-1[\cup ]1,\sqrt{3}[\).
  3. Remarquons que la limite du terme général est \[ \lim_{n\to\infty}\frac{xn^2+2}{n^2+1}=x\,, \] donc la série diverge dès que \(x\neq 0\). Ensuite, pour \(x=0\) le terme général peut se comparer: \[ 0\leqslant \frac{2}{n^2+1}\leqslant \frac{2}{n^2}\,, \] et donc la série converge. Donc \(D=\{0\}\).
  4. Puisque \[ \frac{1}{x^{\log(n)}}=\frac{1}{n^{\log(x)}}\,, \] la série converge si et seulement si \(\log(x)\gt 1\), et donc \(D=]e,+\infty[\).
  5. Cette série est géométrique de raison \[ r(x)=\frac{x}{x+1}\,, \] et donc converge si et seulement si \(|r(x)|\lt 1\): \[\begin{aligned} \left|\frac{x}{x+1}\right|\lt 1 &\quad\Leftrightarrow\quad -1\lt \frac{x}{x+1}\lt 1\\ &\quad\Leftrightarrow\quad -1\lt \frac{x}{x+1} \quad \text{ et }\quad \frac{x}{x+1}\lt 1\\ &\quad\Leftrightarrow\quad x\not\in]-1,-\tfrac12[ \quad \text{ et }\quad x\gt -1\\ &\quad\Leftrightarrow\quad x\not\in]-1,-\tfrac12[ \quad \text{ et }\quad x\gt -1\\ &\quad\Leftrightarrow\quad x\gt -\frac12\,, \end{aligned}\] donc \(D=]-\frac12,+\infty[\).


Exercice 2: (Examen 2019) La série numérique \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[5]{n^{\frac{2}{\alpha}}\bigl(n^{2\alpha} +1\bigr)}} \] converge si

On ne considère que des valeurs \(\alpha\gt 0\).

La partie dominante dans \(a_n=\frac{1}{\sqrt[5]{n^{\frac{2}{\alpha}}(n^{2\alpha}+1)}}\) suggère de poser \[ b_n=\frac{1}{\sqrt[5]{n^{\frac{2}{\alpha}}(n^{2\alpha})}}\,, \] puisque \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\,. \] Remarquons maintenant que \[ b_n=\frac{1}{n^{p(\alpha)}}\,, \qquad p(\alpha)=\frac15\left(\frac{2}{\alpha}+2\alpha\right)\,. \] On sait que la série \(\sum_nb_n\) converge si et seulement si \(p(\alpha)\gt 1\), c'est à dire (rappelons que \(\alpha\gt 0\)) \[\begin{aligned} \frac15\left(\frac{2}{\alpha}+2\alpha\right)\gt 1 &\quad\Leftrightarrow\quad 2\alpha^2-5\alpha+2\gt 0\\ &\quad\Leftrightarrow\quad \alpha\in ]-\infty,\tfrac12[\cup]2,+\infty[\,. \end{aligned}\] En particulier, la série converge lorsque \(0\lt \alpha\lt \frac12\).


Exercice 3: Pour chacune des fonctions données dans les animations ci-dessous, pour le \(\varepsilon\gt 0\) donné, trouver un \(\delta\gt 0\) tel que \[ 0\lt |x-x_0|\leqslant \delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|\leqslant \varepsilon\,. \] Dire ensuite si il semble plausible que la limite \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) existe.
  1. Avec \(x_0=2\) et \(L=\frac12\). a) \(\varepsilon=0.35\), b) \(\varepsilon=0.155\), c) \(\varepsilon=0.025\).

    Remarquons que la réponse n'est pas unique: une fois qu'on a un \(\delta\gt 0\) qui fonctionne, n'importe quel autre \(\delta'\) qui satisfait \(0\lt \delta'\lt\delta\) est aussi valable.
    a) \(\delta=0.5\)
    b) \(\delta=0.1\)
    c) \(\delta=0.01\)
    Cette animation porte à croire que \(\lim_{x\to 2}f(x)\) existe (et vaut probablement \(L=\frac12\)).

  2. a) \(\varepsilon=0.59\), b) \(\varepsilon=0.152\), c) \(\varepsilon=0.003\).

    a) \(\delta=0.37\)
    b) \(\delta=0.1\)
    c) Il n'existe manifestement aucun \(\delta\gt 0\) avec la propriété, ce qui implique que \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) n'existe pas.


Exercice 4: Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)= \begin{cases} 1-5x& \text{ si }x\neq 3\,,\\ 2& \text{ si }x=3\,. \end{cases} \] Montrer, uniquement à l'aide de la définition de limite, que \[ \lim_{x\to 3}f(x)=-14\,. \]

On a, pour tout \(x\neq 3\), \[ |f(x)-(-14)|=|(1-5x)+14|=5|x-3|\,. \] Fixons \(\varepsilon\gt 0\). Par ce qui précède, \[\begin{aligned} |f(x)-(-14)|\leqslant \varepsilon &\quad\Leftrightarrow\quad 5|x-3|\leqslant \varepsilon\\ &\quad\Leftrightarrow\quad |x-3|\leqslant \frac{\varepsilon}{5}\,. \end{aligned}\] Si on pose \(\delta:=\frac{\varepsilon}{5}\), on a donc \[ 0\lt|x-3|\leqslant \delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-(-14)|\leqslant \varepsilon\,, \] ce qui montre que \(\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=-14\).


Exercice 5: Soit \(f:\mathbb{R}\setminus\{-1/2\}\to\mathbb{R}\) définie par \(f(x)=\frac{5x-11}{1+2x}\).
  1. Montrer qu'il existe une constante \(C\gt 0\) telle que \[ |f(x)-\tfrac47|\leqslant C|x-3|\qquad \forall x\in [2,4] \]
  2. Montrer, uniquement à l'aide de la définition de limite, que \[ \lim_{x\to 3}f(x)=\frac47\,. \]

  1. On commence par écrire, pour tout \(x\neq -\frac12\), \[\begin{aligned} |f(x)-\tfrac47| &=\left| \frac{5x-11}{1+2x}- \frac47 \right|\\ &=\left| \frac{27x-81}{7(1+2x)} \right|\\ &= \frac{27}{7}\cdot \frac{|x-3|}{|1+2x|} \end{aligned}\] Maintenant, si \(2\leqslant x\leqslant 4\), alors \(5\leqslant 1+2x\leqslant 9\) et donc \(|1+2x|=1+2x\geqslant 5\). On a donc montré que \[ |f(x)-\tfrac47| \leqslant \frac{27}{7}\cdot \frac{|x-3|}{|1+2x|} \leqslant C |x-3|\qquad \forall x\in [2,4]\,, \] où \(C=\frac{27}{35}\).
  2. Par la première partie de l'exercice, on sait déjà que \[ |x-3|\leqslant 1 \quad\Rightarrow\quad |f(x)-\tfrac47| \leqslant C |x-3|\,. \] Fixons \(\varepsilon\gt 0\). Si on pose \(\delta:= \min\{1,\frac{\varepsilon}{C}\}\), alors \[\begin{aligned} 0\lt |x-3|\leqslant \delta &\quad\stackrel{\delta\leqslant 1}{\Longrightarrow}\quad |f(x)-\tfrac47| \leqslant C |x-3|\leqslant C\delta\\ &\quad\stackrel{\delta\leqslant \frac{\varepsilon}{C}}{\Longrightarrow}\quad |f(x)-\tfrac47| \leqslant C \frac{\varepsilon}{C}=\varepsilon \end{aligned}\]

Extras

Exercice 6: (Examen 2020) Soit \((a_n)_{n\geqslant 1}\) la suite définie par \[ a_n=(-1)^n\sin\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\,. \] Alors:

Remarquons que \[ |a_n|\leqslant \sin(\tfrac{1}{n^2})\,, \] que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n^2)}{1/n^2}=1\,, \] et comme \(\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge, \(\sum_n|a_n|\) converge.


Exercice 7: Vrai ou faux? La série \(\sum_{n\geqslant 3} \frac{1}{e^{\sqrt{\log(n)}}}\) diverge.

C'est vrai. En effet, on a \(\sqrt{x}\leqslant x\) pour tout \(x\geqslant 1\), donc \(\sqrt{\log(n)}\leqslant \log(n)\) pour tout \(n\geqslant 3\), et donc le terme général peut être minoré: \[ \frac{1}{e^{\sqrt{\log(n)}}}\geqslant \frac{1}{e^{\log(n)}} =\frac{1}{n}\gt 0\,. \] Comme la série harmonique diverge, notre série diverge aussi.


Exercice 8: (Examen 2018) Soit \(\lambda=-\frac16\). Déterminer, parmi les séries ci-dessous, celle qui converge.

Exercice 9: La fonction suivante est-elle convexe?

Non. En effet, en zoomant on voit qu'il existe des portions du graphe sur lesquelles le segment reliant deux points n'est pas entièrement au-dessus du graphe:


Exercice 10: Démontrer la version du Théorème des deux gendarmes pour limite à droite:

Théorème: Soient \(f,g,h\) définies sur un intervalle de la forme \(V=]x_0,x_0+\Delta[\), \(\Delta\gt 0\), telles que

  1. \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) pour tout \(x\in V\),
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+} g(x)=\lim_{x\to x_0^+} h(x)=L\).
Alors la limite de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) par la droite existe et vaut \(L\): \[\lim_{x\to x_0^+} f(x)=L\,.\]

Fixons \(\varepsilon\gt 0\).

Posons \(\delta:=\min\{\delta_g,\delta_h\}\). On utilise maintenant le fait que \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) sur \(V\): Ceci montre que \[\begin{aligned} x_0\lt x\leqslant x_0+ \delta &\quad\Rightarrow\quad L-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant L+\varepsilon\\ &\quad\Leftrightarrow\quad |f(x)-L|\leqslant \varepsilon\,. \end{aligned}\]