Soit \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+\) continue, telle que
\(\int_a^bf(x)\,dx=0\). Montrer que \(f\) est la fonction identiquement
nulle: \(f(x)=0\) pour tout \(x\in [a,b]\).
Attention: l'intuition géométrique est claire: si une fonction \(f\geqslant 0\)
a une intégrale nulle, et si cette fonction est continue, alors
l'aire sous son graphe est nulle seulement si cette
fonction vaut zéro partout. Mais pour le démontrer en toute généralité il
faut utiliser un argument analytique uniquement.
Pour commencer
On pourra donner une preuve par l'absurde: on suppose que \(f\) a une intégrale
nulle mais qu'elle est non-nulle en au moins un point.
...
Or on a vu dans
cet exercice que
si une fonction continue est non-nulle en un point, alors elle est non-nulle
dans tout un voisinage de ce point.
Par l'absurde,
supposons que l'intégrale de \(f\) est nulle mais que \(f\) n'est pas
identiquement nulle: il existe donc \(x_0\in ]a,b[\) tel que \(f(x_0)\neq
0\), c'est-à-dire tel que \(f(x_0)\gt 0\).
Comme \(f\) est continue, on sait (voir
cet exercice)
qu'il existe \(\delta>0\) tel que
\(]x_0-\delta,x_0+\delta[\subset ]a,b[\) et tel que
\[
f(x)\geqslant f(x_0)/2>0 \qquad \forall x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\,.
\]
Puisque \(f(x)\geqslant 0\), les
propriétés de l'intégrale
permettent d'écrire
\[\begin{aligned}
\int_a^bf(x)\,dx
&=
\underbrace{\int_a^{x_0-\delta}f(x)\,dx}_{\geqslant 0}
+\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\,dx
+\underbrace{\int_{x_0+\delta}^bf(x)\,dx}_{\geqslant 0}\\
&\geqslant \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\,dx\\
&\geqslant \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x_0)/2\,dx\\
&= \delta f(x_0)>0\,,
\end{aligned}\]
une contradiction.