Exercice 13-08
Soit \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+\) continue, telle que \(\int_a^bf(x)\,dx=0\). Montrer que \(f\) est la fonction identiquement nulle: \(f(x)=0\) pour tout \(x\in [a,b]\).
Attention: l'intuition géométrique est claire: si une fonction \(f\geqslant 0\) a une intégrale nulle, et si cette fonction est continue, alors l'aire sous son graphe est nulle seulement si cette fonction vaut zéro partout. Mais pour le démontrer en toute généralité il faut utiliser un argument analytique uniquement.

On pourra donner une preuve par l'absurde: on suppose que \(f\) a une intégrale nulle mais qu'elle est non-nulle en au moins un point.

Or on a vu dans cet exercice que si une fonction continue est non-nulle en un point, alors elle est non-nulle dans tout un voisinage de ce point.

Par l'absurde, supposons que l'intégrale de \(f\) est nulle mais que \(f\) n'est pas identiquement nulle: il existe donc \(x_0\in ]a,b[\) tel que \(f(x_0)\neq 0\), c'est-à-dire tel que \(f(x_0)\gt 0\).

Comme \(f\) est continue, on sait (voir cet exercice) qu'il existe \(\delta>0\) tel que \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\subset ]a,b[\) et tel que \[ f(x)\geqslant f(x_0)/2>0 \qquad \forall x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\,. \] Puisque \(f(x)\geqslant 0\), les propriétés de l'intégrale permettent d'écrire \[\begin{aligned} \int_a^bf(x)\,dx &= \underbrace{\int_a^{x_0-\delta}f(x)\,dx}_{\geqslant 0} +\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\,dx +\underbrace{\int_{x_0+\delta}^bf(x)\,dx}_{\geqslant 0}\\ &\geqslant \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\,dx\\ &\geqslant \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x_0)/2\,dx\\ &= \delta f(x_0)>0\,, \end{aligned}\] une contradiction.