Exercice 09-06
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction continue en \(x_0\).
  1. Montrer que si \(f(x_0)\neq 0\), alors il existe un voisinage épointé de \(x_0\) dans lequel \(f(x)\) est partout non-nul et de signe constant.
  2. Ensuite, donner un exemple explicite d'une fonction \(f\) qui est continue, mais qui change infiniment souvent de signe dans tout intervalle \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\), \(\delta>0\).

Supposer par exemple que \(f(x_0)\gt 0\), faire un croquis. Il s'agit de trouver un \(\delta\gt 0\) tel que \(f(x)\gt 0\) pour tout \(x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\).

On utilisera la continuité de \(f\) en \(x_0\) pour choisir un \(c\gt 0\) et trouver un \(\delta\gt 0\) tel que \(f(x)\geqslant c\) pour tout \(x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\).

  1. Supposons que \(f(x_0)>0\).
    Posons \(\varepsilon:= f(x_0)/2\gt 0\). Comme \(f\) est continue en \(x_0\), il existe \(\delta>0\) tel que \[ x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[ \quad \implies \quad |f(x)-f(x_0)|\leqslant \varepsilon\,. \] On a donc, pour tout \(x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\), \[\begin{aligned} f(x) &=f(x_0)+\underbrace{\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr)}_{\geqslant -\varepsilon}\\ &\geqslant f(x_0)-\varepsilon=f(x_0)/2\gt 0\,. \end{aligned}\]
  2. Par ce qu'on a vu dans la première partie, une telle fonction doit nécessairement être nulle en \(x_0\). On peut par exemple prendre \[ f(x)= \begin{cases} x\sin(\frac{1}{x})&\text{ si }x\neq 0,\\ 0&\text{ si }x=0\,. \end{cases} \] Cette fonction est continue en \(x_0=0\), puisque \[ \lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\,. \] Quel que soit \(\delta\gt 0\), \(f\) change infiniment souvent de signe dans \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\):