Exercice 08-04
Soient \(f,g\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions. Vrai ou faux?
  1. Si \(f\) est strictement monotone, alors \(f\) est injective.
  2. Si \(f\) est injective, alors \(f\) est monotone.
  3. Si \(f\) est bijective et croissante, alors sa fonction réciproque \(f^{-1}\) est décroissante.
  4. Si \(f \circ g\) est décroissante, alors \(f\) et \(g\) sont décroissantes.
La définition générale de fonction injective/bijective se trouve ici Dans le cas plus particulier des fonctions réelles, voir ici.
  1. VRAI. Soient \(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\) tels que \(x_1 \lt x_2\). Si \(f\) est strictement croissante, on a \(f(x_1) \lt f(x_2)\) et si \(f\) est strictement décroissante, on a \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Dans les deux cas \(f(x_1)\neq f(x_2)\), c.-à-d. que \(f\) est injective.
  2. FAUX. Par exemple, la fonction suivante est injective mais pas monotone: \[ f(x):= \begin{cases} x&\text{ si }x\leqslant -1\\ x+1&\text{ si }-1\lt x\leqslant 0\\ x-1&\text{ si }0\lt x\leqslant 1\\ x&\text{ si }x\gt1\\ \end{cases} \]
  3. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x\), qui est croissante, pour laquelle \(f^{-1}(x)=x\), qui est aussi croissante.
  4. FAUX. Prendre par exemple \(f(x)=x\) et \(g(x)=-x\). Alors \((f\circ g)(x)=-x\) est décroissante mais \(f\) ne l'est pas.