Physique CMS | G. Burmeister (EPFL)

2.5 Accélération

Considérons un objet à deux instants \(t_1\) et \(t_2\).

\[\begin{aligned}\\[-12mm] \vec{v}_1=\vec{v}(t_1)&: \text{ancienne vitesse} \\ \vec{v}_2=\vec{v}(t_2)&: \text{nouvelle vitesse}\\ \Delta\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1&: \text{changement de vitesse}\\ \Delta t=t_2-t_1&: \text{durée du déplacement} \end{aligned}\]

Accélération (instantanée):

\[\vec{a}(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\vec{v}(t+\Delta t) - \vec{v}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}=\dot{\vec{v}}(t) \qquad{\text{unité: \(\text{m}\,\text{s}^{-2}\)}}\,.\]

L'accélération est

le taux de variation de la vitesse par rapport au temps;
un vecteur (avec une direction, un sens et une norme);
toujours dirigée vers l'intérieur du virage.

L'accélération indique

selon la tangente à la trajectoire, un changement dans la norme de la vitesse;
selon la normale à la trajectoire, un changement dans la direction de la vitesse.

L'accélération est une fonction du temps: \(\vec{a}=\vec{a}(t)\).

Exemple: mouvement uniformément accéléré (MUA). Pour un objet passant par un point \(A\) à l'instant \(t_0\) (\(\vec{r}(t_0)=\vec r_0 = \overrightarrow{OA}\)) avec une vitesse \(\vec{v}_0\) et dont l'accélération est constante, on a \[\begin{aligned}\\[-12mm] \vec{a}(t)&=\vec{a}_0 = \overrightarrow{\text{cste}}\,,\\ \vec{v}(t)&=\vec{a}_0 \cdot (t-t_0)+\vec{v}_0 \,,\\ \vec{r}(t)&=\frac{1}{2}\vec{a}_0 \cdot (t-t_0)^2 +\vec{v}_0 \cdot (t-t_0)+\vec{r}_0\,. \end{aligned}\]

La trajectoire est alors une parabole d'axe parallèle à \(\vec{a}_0\).

Exemple: mouvement rectiligne uniforme (MRU). Il s'agit d'un cas particulier de MUA où l'accélération est nulle.

\[\begin{aligned}\\[-12mm] \vec{a}(t)&=\vec{0}\,,\\ \vec{v}(t)&=\vec{v}_0\,,\\ \vec{r}(t)&=\vec{v}_0 \cdot (t-t_0)+\vec{r}_0\,. \end{aligned}\]