Physique CMS | G. Burmeister (EPFL)

3.10 Repère lié au mouvement

Abscisse curviligne, repère lié à la position sur la trajectoire

Abscisse curviligne: \(s\)

On choisit \(O\in\Gamma\) et un sens positif.

\(s\) est l'abscisse du point \(P\in\Gamma\); unité: \(\text{m}\).

\[\begin{aligned}\\[-12mm] s>0&:\text{\(P\) est en avant de \(O\) selon le sens positif;}\\ s<0&:\text{\(P\) est en arrière de \(O\).}%\\ \end{aligned}\]

On définit pour chaque point de la trajectoire \(\Gamma\) un repère \((\vec{e}_t,\vec{e}_n)\) lié à ce point:

\(\vec{e}_t\) est un vecteur normé, tangent à \(\Gamma\) et donnant le sens positif de parcours,
\(\vec{e}_n\) est un vecteur normé, normal à \(\Gamma\) et indiquant l'intérieur (ou l'extérieur) du virage.

Vitesse scalaire

En tout point de \(\Gamma\), la vitesse s'écrit

\[\vec{v}=v\vec{e}_t\,.\]

Vitesse scalaire: \[ v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \dot{s} \,, \quad\text{unité: \(\text{m}\,\text{s}^{-1}\)}. \]

La vitesse scalaire est le taux de variation de l'abscisse curviligne par rapport au temps. Elle représente la vitesse le long de \(\Gamma\) selon \(\vec{e}_t\).

Accélérations tangentielle et normale

En tout point de \(\Gamma\), l'accélération se décompose dans le repère \((\vec{e}_t,\vec{e}_n)\):

\[ \vec{a}=\vec{a}_t+\vec{a}_n = a_t\vec{e}_t + a_n\vec{e}_n\,. \]

Accélération tangentielle \[ a_t=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \dot{v}=\ddot{s}\,,\quad\text{unité: \(\text{m}\,\text{s}^{-2}\)}\,. \] L'accélération tangentielle est l'accélération le long de \(\Gamma\) selon \(\vec{e}_t\). Elle est donc le taux de variation de la vitesse scalaire par rapport au temps.
Accélération normale \[ |a_n| = \frac{v^2}{R}\,, \quad \text{unité: } \text{m}\,\text{s}^{-2}\,. \] \(R\) est le rayon de la trajectoire, c'est-à-dire le rayon du cercle osculateur (cercle passant par trois points de la trajectoire infiniment proches). L'accélération normale donne la variation de la direction de la vitesse \(\vec{v}\).
Remarque: Le vecteur \(\vec{a}_n\) est toujours dirigé vers l'intérieur du virage.

Exemple: condition de décrochement. Un objet se déplaçant sur un support subit une force de soutien \(\vec{S}\) normale au support.

Si l'objet quitte le support, le soutien devient nul au point de décrochement \(D\): \[\vec{S}=\vec{0}\,;\] il s'annule en particulier selon \(\vec{e}_n\).

Mouvement circulaire

Considérons un objet sur une trajectoire circulaire \(\Gamma\) de rayon \(R\). Une force tangentielle peut rendre l'objet plus ou moins rapide. Une force normale est nécessaire pour imprimer le virage à l'objet.

Objet: \(m\)

Forces: tangentielle et normale

Newton:

\[\vec{F}_t+\vec{F}_n=m\vec{a}\,.\]

Pour une origine \(O\) sur \(\Gamma\), l'objet est repéré par l'angle \(\varphi\):

\[s=R\varphi\,.\]

La vitesse scalaire est

\[v=\dot{s}=R\dot{\varphi}\,,\]

où \(\dot{\varphi}\) est la vitesse angulaire de l'objet autour de \(C\). C'est le taux de variation de la position angulaire \(\varphi\) par rapport au temps. Elle est souvent notée \(\omega=\dot{\varphi}\,.\)

L'accélération tangentielle devient

\[a_t = \dot{v}=\ddot{s}=R\ddot{\varphi} = R \dot{\omega}\,,\]

où \(\dot{\omega}\) est l'accélération angulaire de l'objet autour de \(C\). C'est le taux de variation de la vitesse angulaire \(\omega\) par rapport au temps. Elle est souvent notée \(\gamma=\dot{\omega}\,.\)

Alors,

\[ v=R\omega\,, \quad a_t=R\gamma \quad\text{et}\quad|a_n|=\frac{v^2}{R}=R\omega^2\,. \]

Nous obtenons ainsi

\[\begin{cases} \text{ selon }\vec{e}_t:& F_t = m a_t = mR\gamma, \\ \text{ selon }\vec{e}_n:&F_n = m a_n =mR\omega^2. \end{cases}\]