Les formules de quadrature non composites de Newton-Cotes sont basées sur le théorème vu à la section précédente appliqué à \(M\) noeuds (points) de quadrature \(t_j\) équidistants.
Dans le cas d'une formule à un seul noeud \(t_1\), ce dernier peut a priori être choisi arbitrairement dans \([-1,+1]\). La base de Lagrange de \(\mathbb{P}_{M-1} = \mathbb{P}_{0}\) (espace vectoriel des polynômes constants) est formée d'un seul polynôme :
\[ \varphi_1(t)=1\,,\, \forall t\,. \]Par conséquent, en utilisant l'expression des poids suggérée par le théorème de la section précédente, on pose
\[ w_1 = \int_{-1}^{+1}{\varphi_1(t)dt} = \int_{-1}^{+1}{1\cdot dt} = 2\,, \]si bien que la formule de quadrature s'écrit
\[ J(g) = w_1\,g(t_1)=2\,g(t_1)\,. \]Cette formule est, par le théorème et de manière évidente, exacte pour les polynômes de degré \(M-1=0\,\). En choisissant \(t_1=0\), la formule
\[ J(g) = 2\,g(0)\,. \]est même exacte pour les polynômes de degré \(1\).
En effet, soit un polynôme quelconque \(p=(a+bt)\in\mathbb{P}_{1} \), avec \(a,b\in\R\), on calcule facilement
\[ \int_{-1}^{+1}{p(t)dt} = \int_{-1}^{+1}{(a+bt)dt} = 2a+0=2a\,. \]On vérifie alors qu'en choisissant le noeud au milieu de l'intervalle \([-1,+1]\), la formule de quadrature conduit également à ce résultat (exact) :
\[ J(p) = 2p(0)=2a\,. \]Pour ce choix particulier, \(t_1=0\) , la formule de quadrature est appelée formule de quadrature du point milieu (PM) :
\[ J^{\text{PM}}(g) = 2g(0)\,. \]Pour obtenir la formule dite du trapèze, on choisit les deux noeuds au début et à la fin de l'intervalle \([-1,+1]\) : \(t_1=-1\) et \(t_2=+1\). La base de Lagrange de \(\mathbb{P}_{M-1}=\mathbb{P}_{1}\) est alors formée des deux polynômes suivants :
\[\begin{aligned} \varphi_1(t) &= \frac{t-t_2}{t_1-t_2} = \frac{t-1}{-2} = \frac{1-t}{2} \,,\\ \varphi_2(t) &=\frac{t-t_1}{t_2-t_1} = \frac{t+1}{2} = \frac{1+t}{2}\,. \end{aligned}\] Le calcul des poids correspondants fournit alors \[\begin{aligned} w_1 &= \int_{-1}^{+1}{\varphi_1(t)dt} = \int_{-1}^{+1}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t\right)dt} = \frac{1}{2}\cdot 2 - 0 = 1\,,\\ w_2 &= \int_{-1}^{+1}{\varphi_2(t)dt} = \int_{-1}^{+1}{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\right)dt} = \frac{1}{2}\cdot 2 + 0= 1\,. \end{aligned}\] La formule de quadrature du trapèze s'écrit ainsi \[ J^{\text{TR}}(g) = 1\cdot g(-1) + 1\cdot g(+1)\,. \]Cette formule est exacte pour les polynômes de degré \(M-1=1\). Elle a le même degré d'exactitude que la formule du point milieu.
Dans la formule dite de Simpson, on choisit comme noeuds équidistants le début, le milieu et la fin de l'intervalle \([-1,+1]\) : \(t_1=-1\), \(t_2=0\) et \(t_3=+1\). La base de Lagrange de \(\mathbb{P}_{M-1}=\mathbb{P}_{2}\) est alors formée des trois polynômes suivants :
\[\begin{aligned} \varphi_1(t) &= \frac{(t-t_2)(t-t_3)}{(t_1-t_2)(t_1-t_3)} = \frac{t(t-1)}{2} = \frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t\,,\\ \varphi_2(t) &=\frac{(t-t_1)(t-t_3)}{(t_2-t_1)(t_2-t_3)} = \frac{(t+1)(t-1)}{-1} = (t+1)(1-t) = 1-t^2\,,\\ \varphi_3(t) &=\frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_3-t_1)(t_3-t_2)} = \frac{(t+1)t}{2} = \frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t\,. \end{aligned}\]Les poids correspondants sont
\[\begin{aligned} w_1 &= \int_{-1}^{+1}{\varphi_1(t)dt} = \int_{-1}^{+1}{\left(\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t\right)dt} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3}\,,\\ w_2 &= \int_{-1}^{+1}{\varphi_2(t)dt}=\int_{-1}^{+1}{\left(1-t^2\right)dt} =1\cdot 2-\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}\,, \\ w_3 &= \int_{-1}^{+1}{\varphi_3(t)dt} = \int_{-1}^{+1}{\left(\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t\right)dt} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + 0=\frac{1}{3}\,. \end{aligned}\]La formule de quadrature de Simpson s'écrit ainsi
\[ J^{\text{S}}(g) = \frac{1}{3}\cdot g(-1) + \frac{4}{3}\cdot g(0) + \frac{1}{3}\cdot g(+1)\,. \]Cette formule est exacte pour les polynômes de degré \(M-1=2\).
Remarque:
Il existe d'autres ''classes'' de formules (avec des noeuds non équidistants). Par exemple, les formules de Gauss-Legendre.
Dernière compilation: 2025-05-28 (06:27:05)
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