Avec les formules de Gauss-Legendre, l'objectif est de choisir au mieux les noeuds dans l'intervalle de manière à ce que les méthodes soient exactes pour des polynômes de degré aussi grand que possible.
Les \(M\) noeuds considérés par ces formules sont les zéros des polynômes de Legendre \(L_{M}\) dans l'intervalle ouvert \(]\!-1,+1[\,\).
Le polynôme de Legendre de degré \(M\) est défini par
\[ L_M(t) = \frac{1}{2^MM!}\frac{d^M}{dt^M}(t^2-1)^M\,. \]On a donc en particulier,
\[ L_0(t) = 1 \,,~~ L_1(t) = t~\text{ et }~L_2(t) = \frac{3t^2-1}{2}\,. \]Le polynôme \(L_M\) a exactement \(M\) zéros réels distincts dans \(]\!-1,+1[\,\).
La formule de quadrature de Gauss-Legendre à \(M\) points est alors définie en considérant ces \(M\) noeuds \(t_j\) :
\[ J(g) = \sum_{j=1}^{M}{w_jg(t_j)}\,, \]où les \(M\) poids \(w_j\) sont définis (comme pour les formules de Newton-Cotes) par
\[ w_j = \int_{-1}^{1}{\varphi_j(t)dt}\,. \]Les \(M\) \(\varphi_j(t)\) sont les polynômes qui forment la base de Lagrange de \(\mathbb{P}_{M-1}\) associée aux \(M\) zéros \(t_j\) de \(L_M\).
On peut montrer que la formule de quadrature de Gauss-Legendre à \(M\) points, où \(M\) est un entier supérieur ou égal à \(1\), est exacte pour les polynômes de degré \(r = 2M-1\).
En exercices, dans la série 21, on utilise \(L_2\), et donc une formule à deux points, pour approximer (en fait trouver) la valeur exacte de l'intégrale définie d'un polynôme du troisième degré :
Dernière compilation: 2025-05-28 (06:27:05)
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