Dans ce chapitre, nous allons chercher à résoudre numériquement le problème suivant :
Problème de Cauchy (pour une EDO du premier ordre) :
Trouver une fonction \(y:I\subset\R\rightarrow\R\) vérifiant
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} y'(t) &=&f(t,y(t))\,,\forall t\in I\,,\\ y(t_0) &=&y_0\,, \end{array} \right. \] avec \(f:I\times\R\rightarrow\R\) une fonction donnée.La première ligne du problème de Cauchy fournit l'EDO du premier ordre à résoudre. L'EDO est ici donnée sous forme explicite.
La seconde ligne correspond à la condition de Cauchy : \(t_0\in I\) est le point (ou le moment) initial et \(y_0\) est la valeur (donnée) initiale.
Remarque:
On note qu'en intégrant la première ligne du problème de Cauchy entre \(t_0\) et \(t\), on obtient
\[ \int_{t_0}^{t}{y'(\tau)d\tau} = \int_{t_0}^{t}{f(\tau,y(\tau))d\tau}\,. \]Ainsi, comme le terme de gauche n'est autre que \(y(t)-y(t_0)\), le problème de Cauchy peut être écrit de manière équivalente sous forme intégrale :
\[ y(t) = y(t_0) + \int_{t_0}^{t}{f(\tau,y(\tau))d\tau} \equiv y_0 + \int_{t_0}^{t}{f(\tau,y(\tau))d\tau}\,. \]La solution au problème de Cauchy est souvent appelée ''l'intégrale'' de l'EDO.
Dernière compilation: 2025-05-28 (06:27:05)
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