Analyse 1 MATH-101(c)

Un bon exercice pour s'habituer à manipuler la définition de limite.

Ce qu'on dit ici, c'est que si une suite est telle que l'on observe, le long des indices pairs, une convergence vers

L

, et le long des indices impairs une convergence vers

L

aussi, alors toute la suite converge vers

L

. Pour commencer,

on pourra écrire séparément ce que signifie '' $a_{2k}\to L$ '' et '' $a_{2k+1}\to L$ ''. Il faudra ensuite mettre ensemble les affirmations pour montrer '' $a_{n}\to L$ ''. D'une part, $a_{2k}\to L_1$ signifie...

... que pour tout $\varepsilon\gt 0$ , il existe un $K_1$ tel que $|a_{2k}-L_1|\leqslant \varepsilon$ pour tout $k\geqslant K_1$ .

D'autre part,

a_{2k+1}\to L_1

signifie...

... que pour tout $\varepsilon\gt 0$ , il existe un $K_2$ tel que $|a_{2k+1}-L_1|\leqslant \varepsilon$ pour tout $k\geqslant K_2$ .

Pour étudier toute la suite,

on voudra donc fixer un $\varepsilon\gt 0$ , et prendre des indices $k$ qui sont plus grands que $K_1$ et $K_2$ .

Soit

\varepsilon>0

Comme $a_{2k}\to L$ , il existe $K_1$ tel que $|a_{2k}-L|\leqslant \varepsilon$ pour tout $k\geqslant K_1$ .
Comme $a_{2k+1}\to L$ , il existe $K_2$ tel que $|a_{2k+1}-L|\leqslant \varepsilon$ pour tout $k\geqslant K_2$ .

Définissons

N:= \max\{2K_1,2K_2+1\}\,.

Soit

n\geqslant N

Si $n$ est pair, alors il existe un entier $k$ tel que $n=2k$ , et puisque $n=2k\geqslant N\geqslant 2K_1$ , on a aussi $k\geqslant K_1$ , et donc $|a_n-L|=|a_{2k}-L|\leqslant \varepsilon$ .
Si $n$ est impair, alors il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$ , et puisque $n=2k+1\geqslant N\geqslant 2K_2+1$ , on a aussi $k\geqslant K_2$ , et donc $|a_n-L|=|a_{2k+1}-L|\leqslant \varepsilon$ .

On a donc montré que pour tout

\varepsilon\gt 0

, il existe un

N

tel que

|a_n-L|\leqslant \varepsilon

pour tout

n\geqslant N

. Ceci signifie bien que

a_n\to L

Exercice 03-04