Montrer que si \((a_n)\) est une suite telle que
\[
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=L\,\qquad \text{ et }\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k+1}= L\,,
\]
alors \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n=L\).
Un bon exercice pour s'habituer à manipuler la définition de limite.
Ce qu'on dit ici, c'est que si une suite est telle que l'on observe, le long des
indices pairs, une convergence vers \(L\), et le long des indices impairs une
convergence vers \(L\) aussi, alors toute la suite converge vers \(L\).
Pour commencer,
on pourra écrire séparément ce que signifie
''\(a_{2k}\to L\)''
et
''\(a_{2k+1}\to L\)''.
Il faudra ensuite mettre ensemble les affirmations pour montrer
''\(a_{n}\to L\)''.
D'une part, \(a_{2k}\to L_1\) signifie...
... que pour tout \(\varepsilon\gt 0\), il existe un \(K_1\)
tel que \(|a_{2k}-L_1|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(k\geqslant K_1\).
D'autre part, \(a_{2k+1}\to L_1\) signifie...
... que pour tout \(\varepsilon\gt 0\), il existe un \(K_2\)
tel que \(|a_{2k+1}-L_1|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(k\geqslant K_2\).
Pour étudier toute la suite,
on voudra donc fixer un \(\varepsilon\gt 0\), et
prendre des indices \(k\) qui sont plus grands que \(K_1\)
et \(K_2\).
Soit \(\varepsilon>0\).
- Comme \(a_{2k}\to L\), il existe \(K_1\) tel que
\(|a_{2k}-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(k\geqslant K_1\).
- Comme \(a_{2k+1}\to L\), il existe \(K_2\) tel que
\(|a_{2k+1}-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(k\geqslant K_2\).
Définissons
\[N:= \max\{2K_1,2K_2+1\}\,.\]
Soit \(n\geqslant N\).
-
Si \(n\) est
pair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k\), et
puisque \(n=2k\geqslant N\geqslant 2K_1\), on a aussi \(k\geqslant K_1\), et donc
\(|a_n-L|=|a_{2k}-L|\leqslant \varepsilon\).
-
Si \(n\) est
impair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k+1\), et
puisque \(n=2k+1\geqslant N\geqslant 2K_2+1\), on a aussi \(k\geqslant K_2\), et donc
\(|a_n-L|=|a_{2k+1}-L|\leqslant \varepsilon\).
On a donc montré que pour tout \(\varepsilon\gt 0\), il existe un \(N\) tel que
\(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\). Ceci signifie bien que \(a_n\to
L\).