Considérer la suite \((a_n)\) définie par \(a_1:=10\) et, pour \(n\geqslant 1\),
\[
a_{n+1}:=\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{a_n}\,.
\]
- Montrer que \(a_n> \sqrt{2}\) pour tout \(n\).
- Montrer que \((a_n)\) est décroissante.
- Conclure que \((a_n)\) converge et calculer sa limite.
Pour 1.
Écrire explicitement la différence
\(a_{n+1}-\sqrt{2}\), mettre au même dénominateur, et montrer que la fraction
obtenue est \(\gt 0\) pour tout \(n\).
Pour 2.
Cet exercice est intéressant parce qu'il
fournit un exemple d'une suite rationelle (\(a_n\in \mathbb{Q}\) pour
tout \(n\)) dont la limite est irrationnelle:
\(\lim_{n\to \infty}a_n\not\in\mathbb{Q}\).