Exercice 03-10
  1. Montrer que pour tout \(x\geqslant 0\), \[ 1\leqslant \sqrt{1+x}\leqslant1+\frac{x}{2}\,. \]
  2. Utiliser ces inégalités, ainsi que le Théorème des deux gendarmes, pour calculer \[\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{2n}\,.\]
Les inégalités de la première partie de l'exercice seront utiles pour étudier d'autres limites qui apparaîtront plus loin dans les exercices.

on pourra utiliser le fait que \(1+x\leqslant 1+x {\color{red} +(\frac{x}{2})^2}\)...

... \(1+x\leqslant 1+2\frac{x}{2}+(\frac{x}{2})^2\), qui est un carré parfait.

en mettant en évidence \(n^2\) dans la racine, on fait apparaître une suite dans laquelle des gendarmes sont fournis par ce qui a été fait dans la première partie.

  1. Pour tout \(x\geqslant 0\), on peut faire apparaître un carré parfait en majorant comme suit: \[\begin{aligned} 1=\sqrt{1}&\leqslant \sqrt{1+x}\\ &= \sqrt{1+2\frac{x}{2}} \\ &\leqslant \sqrt{1+2\frac{x}{2}+\bigl(\frac{x}{2}\bigr)^2}\\ &=\sqrt{\bigl(1+\frac{x}{2}\bigr)^2}\\ &=1+\frac{x}{2}\,. \end{aligned}\] (Sans le dire, dans la première ligne, on a utilisé le fait que la fonction racine carrée est croissante.)
  2. Remarquons que \[\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{2n} =\frac{\sqrt{n^{2}(1+\frac{2}{n^2})}}{2n} =\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}}\] Si on utilise l'inégalité de la première partie avec \(x=\frac{2}{n^2}\), on peut écrire que \[ 1\leqslant\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}}\leqslant 1+\frac{1}{n^{2}}\,. \] Puisque \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\), ceci implique, par le théorème des deux gendarmes, que \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}}=1\,. \] Par conséquent, \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+2}}{2n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}} =\frac{1}{2}\,. \]