On montre que \(\lim_{n\to\infty}a_n=3\). En effet, si on fixe \(\varepsilon\gt 0\), on a \[\begin{aligned} |a_n-3|\leqslant \varepsilon &\quad \Leftrightarrow\quad \left|\frac{3n}{n+2}-3\right|\leqslant \varepsilon\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \frac{6}{n+2}\leqslant \varepsilon\\ &\quad \Leftrightarrow \quad n\geqslant \frac{6}{\varepsilon}-2\,. \end{aligned}\] Donc si \(N\) est n'importe quel entier plus grand que \(\frac{6}{\varepsilon}-2\), on a \(|a_n-3|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).

Il y a d'autres façons d'obtenir l'existence et la valeur de la limite.

1. Remarquons que \(a_n\) est de la forme \(\frac{an+b}{cn+d}\), et donc un exercice précédent garantit que sa limite quand \(n\to \infty\) est égale à \(\frac{a}{c}=\frac{3}{1}=3\).
2. On aurait aussi pu remarquer que la suite est croissante (soit par vérification directe, soit par le fait que \(3\cdot 2-1\cdot 0\geqslant 0\), voir un exercice précédent) et majorée (par \(M=3\)), et donc \[ \lim_{n\to\infty}\frac{3n}{n+2}=\sup \{a_1,a_2,\ldots\}\,. \] On vérifie ensuite que \(\sup \{a_1,a_2,\ldots\}=3\).

Passons aux autres limites de l'exercice.

1. Puisque \(\lim_{n\to\infty}a_n=3\neq 0\), et puisque la limite d'un quotient est le quotient de limites, \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}} =\frac{1}{\lim_{n\to\infty}a_{n}} =\frac{1}{3} \]
2. Puisque la limite d'une somme est la somme des limites, \[ \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n}}{3}+\frac{3}{a_{n}}) =\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}a_{n} +\frac{3}{\lim_{n\to\infty}a_{n}} =\frac{1}{3}\cdot 3+\frac{3}{3}=2\,. \]
3. Parce que la limite d'un produit est le produit des limites, \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{9n^2}{n^2+4n+4} &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{n+2}\right)^2\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3n}{n+2}\right)\left(\frac{3n}{n+2}\right)\\ &=3^2=9\,. \end{aligned}\]