Exercice 04-03
Calculer les limites \(n\to \infty\) des suites ci-dessous, qui sont toutes des
indéterminations ''\(1^\infty\)''.
- \(x_n=\bigl(1+\tfrac1{n^2}\bigr)^{n^2}\)
- \(y_n= \bigl(1+\tfrac1{n}\bigr)^{n^2}\)
- \(z_n = \bigl(1+\tfrac1{n^2}\bigr)^n\)
Au cours, on a étudié la limite fondamentale
\[
\lim_{n\to \infty} \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n=e=2.718\dots\,.
\]
Donc si on pose \(e_n=(1+\frac1n)^n\), on sait que \(e_n\to e\).
On pourra donc essayer de
relier chacune des suites \(x_n\), \(y_n\), \(z_n\) à \(e_n\).
Soit \(e_n=(1+\frac1n)^n\).
Rappelons ce que signifie
''\(e_n\to e\)'': pour tout \(\varepsilon>0\), il existe
\(N\in \mathbb{N}\)
tel que
\[|e_n-e|\leqslant \varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,.\]
- Montrons que \(x_n\to e\). Remarquons que
\(x_n=(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}=e_{n^2}\).
Fixons donc \(\varepsilon>0\), et considérons le \(N\) ci-dessus.
Si on prend \(n\geqslant [\sqrt{N}]+1\), alors \(n^2\geqslant N\), et donc
\(|e_{n^2}-e|\leqslant \varepsilon\).
Ceci montre que \(x_n\to e\).
Remarque:
\(x_n=e_{n^2}\) est ce qu'on appellera plus tard une
sous-suite de \((e_n)\).
- Commençons par écrire
\[
y_n=
\Bigl(1+\frac1{n}\Bigr)^{n^2}=
\Bigl[\Bigl(1+\frac1{n}\Bigr)^{n}\Bigr]^{n}={e_n}^n\,.
\]
Comme \(e_n=(1+\frac1{n})^{n}\to e\), et comme
\(e>2\), il existe \(N\) tel que \(e_n\geqslant 2\) pour tout \(n\geqslant N\). On a donc
aussi \(y_n={e_n}^n\geqslant 2^n\) pour tout \(n\geqslant N\). Comme \(2^n\to \infty\),
on en conclut que \(y_n\to \infty\).
Remarque:
Si on sait que \(y_n={e_n}^n\), et que \(e_n\to e\gt 2\), on a peut-être envie
d'écrire quelque chose comme ''\(y_n\to e^\infty=\infty\)'', ce qui doit
convaincre que la limite de \(y_n\) est \(+\infty\) mais ne fait
malheureusement aucun sens. Donc pour rendre l'argument rigoureux on a
simplement utilisé le fait que \(e\gt 2\) pour construire un ''chien
méchant'': \(y_n\geqslant 2^n\) pour \(n\) grand.
- Remarquons d'abord que \(z_n={x_n}^{1/n}\). On a montré plus haut que
\(x_n\to e\).
Soit donc
\(0<\varepsilon< e\) et soit \(N\) tel que pour tout \(n\geqslant N\) on ait
\(|x_n-e|\leqslant \varepsilon\), c'est-à-dire \(e-\varepsilon\leqslant x_n\leqslant e+\varepsilon\).
On peut alors écrire, lorsque \(n\geqslant N\), que
\[
(e-\varepsilon)^{1/n} \leqslant z_n
\leqslant
(e+\varepsilon)^{1/n}
\]
Mais puisque \((e\pm \varepsilon)^{1/n}\to 1\), on a que \(z_n\to 1\).
Remarque:
Le fait que \(c^{1/n}\to 1\) pour toute constante \(c\gt 0\)
vient de
\[\begin{aligned}
c^{1/n}
&=\left(\exp(\log(c))\right)^{1/n}\\
&=\exp\left(\frac{\log(c)}{n}\right)
\to \exp (0)=1
\end{aligned}\]