Exercice 07-10
(Cet exercice est facultatif)

Soit \((a_n)\) une suite pour laquelle les deux limites ci-dessous existent: \[ L_1=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,,\qquad L_2=\lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\,. \] Montrer que \(L_1=L_2\).
Remarquons que Cet exercice a donc pour but de montrer qu'une suite satisfait au critère de Cauchy (\(\sigma\lt 1\)) si et seulement si elle satisfait au critère de d'Alembert (\(\rho\lt 1\)).

On pourra s'inspirer des manipulations faites dans la preuve du critère de d'Alembert pour les suites.

Prendre la définition de \(L_2\) et la rendre explicite à l'aide d'un \(\varepsilon\gt 0\) et d'un \(N\).

Dans le cas \(L_2\gt 0\), l'utiliser pour obtenir \[ (L_2-\varepsilon)^{n-N}|a_N|\leqslant |a_{n}|\leqslant (L_2+\varepsilon)^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,. \]

prendre la racine \(n\)ème dans la dernière expression, puis faire \(n\to \infty\).

Dans le cas où \(L_2\gt 0\), prenons \(\varepsilon\gt 0\) petit de façon à ce que \(L_2-\varepsilon\gt 0\), et considérons \(N\) tel que \[ L_2-\varepsilon\leqslant \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| \leqslant L_2+\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,. \] De cette dernière, on tire que \[ (L_2-\varepsilon)^{n-N}|a_N|\leqslant |a_{n}|\leqslant (L_2+\varepsilon)^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,, \] et donc \[ (L_2-\varepsilon)^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\leqslant \sqrt[n]{|a_n|}\leqslant (L_2+\varepsilon)^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\qquad \forall n\geqslant N\,, \] En prenant \(n\to\infty\), on obtient \[ L_2-\varepsilon\leqslant L_1\leqslant L_2+\varepsilon\,. \] Comme ces inégalités sont vérifiées pour tout \(\varepsilon\gt 0\), ceci montre que \(L_1=L_2\).

Dans le cas où \(L_2=0\), on prend un \(\varepsilon\gt 0\) et un \(N\) tel que \[ 0\leqslant \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| \leqslant \varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,, \] qui donne \[ 0\leqslant |a_{n}|\leqslant \varepsilon^{n-N}|a_N|\qquad \forall n\geqslant N\,, \] et donc \[ 0\leqslant \sqrt[n]{|a_n|}\leqslant \varepsilon^{1-N/n}|a_N|^{1/n}\qquad \forall n\geqslant N\,, \] En prenant \(n\to\infty\), on obtient \[ 0\leqslant L_1\leqslant \varepsilon\,. \] Comme ceci est vrai pour tout \(\varepsilon\gt 0\), on a que \(L_1=0\), et donc \(L_1=L_2\).