Pour chacune des suites ci-dessous, montrer qu'il existe un
\(N\in \mathbb{N}^*\) (en le donnant explicitement) tel que
\(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
- \(a_n=\frac{n}{n+1}\), \(\ell=1\), \(\varepsilon=\frac{1}{10}\),
- \(a_n=\frac{n}{n+1}\), \(\ell=1\), \(\varepsilon=\frac{1}{100}\),
- \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\), \(\ell=0\), \(\varepsilon=\frac{1}{100}\),
- \(a_n=\frac{n}{n^2+1}\), \(\ell=0\), \(\varepsilon=\frac{1}{4}\).
Ensuite, pour
la suite définie par \(a_n=\frac{2n}{n+1}\) (\(n\geqslant 0\)), prendre
\(\varepsilon=\frac34\) et donner l'ensemble des entiers \(n\geqslant 0\) pour lesquels
\(|a_n-1|\leqslant \varepsilon\).
Représenter graphiquement le résultat.
Le but de cet exercice est de s'habituer à étudier comment évolue la distance
entre les éléments d'une suite \(a_n\) et un point \(\ell\),
en fonction de l'indice \(n\).
Pour une suite \((a_n)\) et un \(\ell\) donnés,
il s'agit d'écrire explicitement \(|a_n-\ell|\) en fonction de \(n\),
et de voir si cette
distance satisfait ou non la contrainte donnée.
-
Écrivons la distance:
\[
|a_n-\ell|=
\left|
\frac{n}{n+1}-1
\right|
=
\left|
\frac{-1}{n+1}
\right|
=
\frac{1}{n+1}\,.
\]
(On a pu enlever les valeurs absolues puisque \(\frac{1}{n+1}\gt 0\) pour tout
\(n\geqslant 0\).)
Ainsi, la contrainte \(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) devient
\[
\frac{1}{n+1}\leqslant \frac{1}{10}
\quad
\Leftrightarrow
\quad
1\leqslant \frac{n+1}{10}
\quad
\Leftrightarrow
\quad
n\geqslant 9\,.
\]
On peut donc prendre
\(N=9\) (ou n'importe quel nombre plus grand que \(9\)!), pour garantir que
\(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
-
Dans ce cas, la contrainte \(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) devient
\[
\left|
\frac{n}{n+1}-1
\right|\leqslant \frac{1}{100}\,,
\]
dont la solution est \(n\geqslant 99\), et on peut prendre \(N=99\).
- Ici,
\[ \left|
\frac{(-1)^n}{n}-0
\right|\leqslant \frac{1}{100}\,,
\]
Donc la solution est \(n\geqslant 100\), donc on peut prendre \(N=100\).
- Ici,
\[
\left|
\frac{n}{n^2+1}-0
\right|\leqslant \frac{1}{4}\,,
\]
qui est équivalente à \(n^2-4n+1\geqslant 0\).
Dans \(\mathbb{R}\), l'équation
\[x^2-4x+1\geqslant 0\] a pour solution
\(]-\infty,2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3},+\infty[\).
Comme \(2+\sqrt{3}\simeq 3.73\), on peut prendre par exemple \(N=4\).
Pour la dernière partie, si \(a_n=\frac{2n}{n+1}\),
alors \(|a_0-1|=1\) et si \(n\geqslant 1\) alors
\[ |a_n-1|=
\Bigl|\frac{2n}{n+1}-1\Bigr|=\frac{n-1}{n+1}\,,
\]
et donc \(|a_n-1|\leqslant \frac34\) si et seulement si
\[
\frac{n-1}{n+1}\leqslant \frac34
\quad \Leftrightarrow \quad
4n-4\leqslant 3n+3
\quad \Leftrightarrow \quad
n\leqslant 7\,,
\]
c'est-à-dire:
\(n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\). Il n'existe donc
pas d'entier \(N\) tel que
\(|a_n-1|\leqslant \frac34\) pour tout \(n\geqslant N\). Ceci n'est pas étonnant,
puisque cette suite
tend vers \(2\), pas vers \(1\); donc ses termes
sont proches (au sens du \(\varepsilon=3/4\))
de \(1\) pour quelques indices seulement.
Graphiquement:
Le but de cette dernière partie de l'exercice est de faire comprendre que
si une suite \((a_n)\) ne tend
pas vers \(L\), alors pour un
\(\varepsilon\gt 0\) petit, la contrainte sur la distance, \(|a_n-L|\leqslant
\varepsilon\), a peu de chances d'être satisfaite par une infinité d'indices.