Exercice 03-03
Pour chacune des suites ci-dessous, montrer qu'il existe un \(N\in \mathbb{N}^*\) (en le donnant explicitement) tel que \(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
  1. \(a_n=\frac{n}{n+1}\), \(\ell=1\), \(\varepsilon=\frac{1}{10}\),
  2. \(a_n=\frac{n}{n+1}\), \(\ell=1\), \(\varepsilon=\frac{1}{100}\),
  3. \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\), \(\ell=0\), \(\varepsilon=\frac{1}{100}\),
  4. \(a_n=\frac{n}{n^2+1}\), \(\ell=0\), \(\varepsilon=\frac{1}{4}\).
Ensuite, pour la suite définie par \(a_n=\frac{2n}{n+1}\) (\(n\geqslant 0\)), prendre \(\varepsilon=\frac34\) et donner l'ensemble des entiers \(n\geqslant 0\) pour lesquels \(|a_n-1|\leqslant \varepsilon\). Représenter graphiquement le résultat.
Le but de cet exercice est de s'habituer à étudier comment évolue la distance entre les éléments d'une suite \(a_n\) et un point \(\ell\), en fonction de l'indice \(n\).

il s'agit d'écrire explicitement \(|a_n-\ell|\) en fonction de \(n\), et de voir si cette distance satisfait ou non la contrainte donnée.

  1. Écrivons la distance: \[ |a_n-\ell|= \left| \frac{n}{n+1}-1 \right| = \left| \frac{-1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1}\,. \] (On a pu enlever les valeurs absolues puisque \(\frac{1}{n+1}\gt 0\) pour tout \(n\geqslant 0\).) Ainsi, la contrainte \(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) devient \[ \frac{1}{n+1}\leqslant \frac{1}{10} \quad \Leftrightarrow \quad 1\leqslant \frac{n+1}{10} \quad \Leftrightarrow \quad n\geqslant 9\,. \] On peut donc prendre \(N=9\) (ou n'importe quel nombre plus grand que \(9\)!), pour garantir que \(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
  2. Dans ce cas, la contrainte \(|a_n-\ell|\leqslant \varepsilon\) devient \[ \left| \frac{n}{n+1}-1 \right|\leqslant \frac{1}{100}\,, \] dont la solution est \(n\geqslant 99\), et on peut prendre \(N=99\).
  3. Ici, \[ \left| \frac{(-1)^n}{n}-0 \right|\leqslant \frac{1}{100}\,, \] Donc la solution est \(n\geqslant 100\), donc on peut prendre \(N=100\).
  4. Ici, \[ \left| \frac{n}{n^2+1}-0 \right|\leqslant \frac{1}{4}\,, \] qui est équivalente à \(n^2-4n+1\geqslant 0\). Dans \(\mathbb{R}\), l'équation \[x^2-4x+1\geqslant 0\] a pour solution \(]-\infty,2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3},+\infty[\). Comme \(2+\sqrt{3}\simeq 3.73\), on peut prendre par exemple \(N=4\).


Pour la dernière partie, si \(a_n=\frac{2n}{n+1}\), alors \(|a_0-1|=1\) et si \(n\geqslant 1\) alors \[ |a_n-1|= \Bigl|\frac{2n}{n+1}-1\Bigr|=\frac{n-1}{n+1}\,, \] et donc \(|a_n-1|\leqslant \frac34\) si et seulement si \[ \frac{n-1}{n+1}\leqslant \frac34 \quad \Leftrightarrow \quad 4n-4\leqslant 3n+3 \quad \Leftrightarrow \quad n\leqslant 7\,, \] c'est-à-dire: \(n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\). Il n'existe donc pas d'entier \(N\) tel que \(|a_n-1|\leqslant \frac34\) pour tout \(n\geqslant N\). Ceci n'est pas étonnant, puisque cette suite tend vers \(2\), pas vers \(1\); donc ses termes sont proches (au sens du \(\varepsilon=3/4\)) de \(1\) pour quelques indices seulement. Graphiquement:
Le but de cette dernière partie de l'exercice est de faire comprendre que si une suite \((a_n)\) ne tend pas vers \(L\), alors pour un \(\varepsilon\gt 0\) petit, la contrainte sur la distance, \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\), a peu de chances d'être satisfaite par une infinité d'indices.