Exercice 03-08
Soit (an)(a_n) une suite réelle. Vrai ou faux?
  1. Si (an)(a_n) est croissante, alors (an2)(a_n^2) est croissante.
  2. Si (an)(a_n) est bornée, alors (an)(a_n) converge.
  3. Si lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0, alors ∣an∣⩽ε|a_n|\leqslant \varepsilon pour tout ε>0\varepsilon\gt 0.
  4. lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0 si et seulement si lim⁡n→∞∣an∣=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=0.
  5. Si lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0, alors lim⁡n→∞(ansin⁡(n))=0\displaystyle\lim_{n \to\infty}\big(a_n\sin(n)\big)=0.
  6. Si (an)(a_n) converge, il existe ε>0\varepsilon \gt 0 tel que ∣an∣⩽ε|a_n|\leqslant \varepsilon pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}.
  7. Si lim⁡n→∞an=a\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a, alors il existe δ>0\delta\gt 0 tel que ∣an−a∣⩽δ|a_n-a|\leqslant \delta pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}.
  8. Si lim⁡n→∞∣an∣=M>0\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=M\gt 0, alors lim⁡n→∞an=+M\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=+M ou lim⁡n→∞an=−M\lim_{n\to\infty}a_n=-M.
  9. Si an⩽bna_n\leqslant b_n pour tout nn, et si lim⁡n→∞bn=L\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=L, alors an⩽La_n\leqslant L pour tout nn.
  10. Si ana_n est décroissante et bn→0b_n\to 0, alors anbna_nb_n est décroissante.
Rappelons que si l'affirmation est VRAIE, on doit pouvoir la démontrer à l'aide de ce qui a été vu au cours. Si elle est FAUSSE, on doit pouvoir exhiber un contre-exemple.
  1. FAUX. Par exemple, an=−1na_n=-\frac1n est croissante, mais an2=1n2a_n^2=\frac{1}{n^2} est décroissante. On a par contre le résultat suivant: si (an)(a_n) est croissante et si tous ses termes sont an⩾0a_n\geqslant 0, alors (an2)(a_n^2) est aussi croissante. (Pouvez-vous le prouver?)
  2. FAUX. Prendre par exemple an=(−1)na_n=(-1)^n pour tout n⩾0n \geqslant 0, qui est bornée mais divergente.
  3. FAUX. Le sens précis de ''lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0'' est que pour tout ε>0\varepsilon\gt 0, on a ∣an∣⩽ε|a_n|\leqslant \varepsilon pour tous les nn suffisamment grands, dans le sens suivant: il existe un entier NN (qui dépend de ε\varepsilon) tel que ∣an∣⩽ε|a_n|\leqslant \varepsilon pour tous les n⩾Nn\geqslant N. (Par contre, on ne sait pas si ∣an∣⩽ε|a_n|\leqslant \varepsilon pour les n<Nn\lt N!) (Rappelons aussi que si ∣an∣⩽ε|a_n|\leqslant \varepsilon pour tout ε>0\varepsilon\gt 0, alors an=0a_n=0.)
  4. VRAI. En effet, si lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0 alors pour tout ε>0\varepsilon\gt 0 il existe NN tel que ∣an−0∣=∣an∣⩽ε|a_n-0|=|a_n|\leqslant \varepsilon pour tout n⩾Nn\geqslant N. Ceci est équivalent à dire que la suite (∣an∣)n(|a_n|)_n tend vers zéro. Inversément, si (∣an∣)n(|a_n|)_n tend vers zéro, comme on peut toujours écrire que −∣an∣⩽an⩽∣an∣ , -|a_n|\leqslant a_n\leqslant |a_n|\,, le Théorème des deux gendarmes implique que (an)n(a_n)_n tend aussi vers zéro.
  5. VRAI. Comme ∣sin⁡(n)∣⩽1|\sin(n)| \leqslant 1 pour tout n∈Nn\in \mathbb{N}, on sait que le produit d'une suite qui tend vers zéro par une suite bornée tend vers zéro, donc lim⁡n→∞(ansin⁡(n))=0\lim_{n \to\infty}(a_n \sin(n))=0.
  6. VRAI. Comme (an)(a_n) converge, elle est bornée, donc il existe MM tel que ∣an∣⩽M|a_n|\leqslant M pour tout nn. On peut donc prendre ε=M\varepsilon=M.
  7. VRAI. Si lim⁡n→∞an=a\lim_{n\to\infty}a_n=a, alors lim⁡n→∞(an−a)=0\lim_{n\to\infty}(a_n-a)=0. Ainsi la suite bn=an−ab_n=a_n-a est bornée.
  8. FAUX. En effet, si lim⁡n→∞∣an∣\lim_{n\to\infty}|a_n| existe et vaut M>0M\gt 0, cela n'implique même pas l'existence de lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty}a_n. Par exemple, avec an=(−1)na_n=(-1)^n, on a que lim⁡n→∞∣an∣=1\lim_{n\to\infty}|a_n|=1, alors que ana_n n'a pas de limite.
  9. FAUX. Comme contre-exemple, prenons an=1n2a_n=\frac{1}{n^2}, bn=1nb_n=\frac1n. On a bien an⩽bna_n\leqslant b_n pour tout n⩾1n\geqslant 1, mais bn→0b_n\to 0, alors que an>0a_n\gt 0 pour tout n⩾1n\geqslant 1.
  10. FAUX. Contre-exemple: an=−na_n=-n (décroissante), bn=−1nb_n=-\frac{1}{\sqrt{n}} (tend vers zéro), mais anbn=na_nb_n=\sqrt{n}, qui est croissante. On peut également construire des contre-exemples pour lesquels anbna_nb_n n'est pas monotone.