Soit \((a_n)\) une suite réelle.
Vrai ou faux?
- Si \((a_n)\) est croissante, alors \((a_n^2)\) est croissante.
- Si \((a_n)\) est bornée, alors \((a_n)\) converge.
- Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\), alors \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) pour tout
\(\varepsilon\gt 0\).
- \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\) si et seulement si
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=0\).
- Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0\), alors
\(\displaystyle\lim_{n \to\infty}\big(a_n\sin(n)\big)=0\).
- Si \((a_n)\) converge, il existe \(\varepsilon \gt 0\) tel que \(|a_n|\leqslant \varepsilon\)
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
- Si \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a\), alors il existe \(\delta\gt 0\)
tel que \(|a_n-a|\leqslant \delta\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
- Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=M\gt 0\), alors
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=+M\) ou \(\lim_{n\to\infty}a_n=-M\).
- Si \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\), et si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=L\),
alors \(a_n\leqslant L\) pour tout \(n\).
- Si \(a_n\) est décroissante et \(b_n\to 0\), alors \(a_nb_n\) est
décroissante.
Rappelons que si l'affirmation est VRAIE, on doit pouvoir la démontrer à
l'aide de ce qui a été vu au cours. Si elle est FAUSSE, on doit pouvoir exhiber
un contre-exemple.