Exercice 07-07
Considérer \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2^{\log_3(n)}}\). Vrai ou faux?
  1. Le critère de Cauchy permet de montrer que la série converge.
  2. Le critère de d'Alembert permet de montrer que la série diverge.
  3. La série converge, car c'est une série géométrique de raison \(r=\frac12<1\).
  4. La série diverge.
Remarquons que le terme général de la série est \[\begin{aligned} \frac{1}{2^{\log_3(n)}} =\frac{1}{(3^{\log_3(2)})^{\log_3(n)}} &=\frac{1}{3^{(\log_3(2)\log_3(n))}}\\ &=\frac{1}{(3^{\log_3(n)})^{\log_3(2)}}\\ &=\frac{1}{n^{\log_3(2)}}\\ &=\frac{1}{n^p}\,, \end{aligned}\] où \(p= \log_3(2)<1\). Donc la série associée diverge. Les trois premières affirmations sont fausses, parce que \[ \sigma=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n^p}\right|} =\lim_{n\to \infty}\frac{1}{(\sqrt[n]{n})^p}=1\,, \] \[ \rho=\lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}\Bigr| =\lim_{n\to \infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^p=1\,, \] et que la série n'est pas une série géométrique.