Exercice 06-08
Parmi les séries ci-dessous, lesquelles convergent?
∑
n
⩾
1
1
2
1000
\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2^{1000}}
n
⩾
1
∑
2
1000
1
∑
n
⩾
1
(
n
−
1
)
!
n
!
\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{(n-1)!}{n!}
n
⩾
1
∑
n
!
(
n
−
1
)!
∑
n
⩾
0
e
−
0.001
n
\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}e^{-0.001n}
n
⩾
0
∑
e
−
0.001
n
∑
n
⩾
1
1
e
2
log
n
\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{e^{2\log n}}
n
⩾
1
∑
e
2
l
o
g
n
1
Indications
Forum
Solution
On a ici des séries dont la convergence/divergence se déduit sans aucun calcul, uniquement par la compréhension du début de la théorie sur les séries, et des exemples vu dans le cours.
Pour 4.
Se rappeler que
e
log
(
x
)
=
x
e^{\log (x)}=x
e
l
o
g
(
x
)
=
x
pour tout
x
>
0
x\gt 0
x
>
0
.
Le terme général
a
n
=
1
2
1000
a_n=\frac{1}{2^{1000}}
a
n
=
2
1000
1
a beau être un nombre constant très petit, il n'en est pas moins strictement positif. Donc la série diverge.
Si on veut être plus précis: la
n
n
n
ème somme partielle de cette série est
s
n
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
=
1
2
1000
+
1
2
1000
+
⋯
1
2
1000
=
n
2
1000
,
\begin{aligned} s_n &=a_1+a_2+\cdots +a_n\\ &= \frac{1}{2^{1000}}+ \frac{1}{2^{1000}}+ \cdots \frac{1}{2^{1000}}=\frac{n}{2^{1000}}\,, \end{aligned}
s
n
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
=
2
1000
1
+
2
1000
1
+
⋯
2
1000
1
=
2
1000
n
,
et donc
s
n
→
+
∞
s_n\to+\infty
s
n
→
+
∞
quand
n
→
∞
n\to\infty
n
→
∞
.
Le terme général
a
n
=
(
n
−
1
)
!
n
!
=
1
n
a_n=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n
a
n
=
n
!
(
n
−
1
)!
=
n
1
est celui de la série harmonique, qui diverge.
C'est une série géométrique de raison
r
=
e
−
0.001
<
1
r=e^{-0.001}\lt 1
r
=
e
−
0.001
<
1
, donc elle converge.
Le terme général peut s'écrire comme suit:
a
n
=
1
e
2
log
n
=
1
(
e
log
n
)
2
=
1
n
2
,
a_n=\frac{1}{e^{2\log n}}=\frac{1}{(e^{\log n})^2}=\frac{1}{n^2}\,,
a
n
=
e
2
l
o
g
n
1
=
(
e
l
o
g
n
)
2
1
=
n
2
1
,
et on a vu que la série corresondante converge.