On a ici des séries dont la convergence/divergence se déduit sans aucun calcul,
uniquement par la compréhension du début de la théorie sur les séries, et des
exemples vu dans le cours.
Pour 4.
Se rappeler que \(e^{\log (x)}=x\) pour tout \(x\gt 0\).
Le terme général \(a_n=\frac{1}{2^{1000}}\) a beau être un nombre constant
très petit, il n'en est pas moins strictement positif. Donc la série diverge.
Si on veut être plus précis: la \(n\)ème somme partielle de cette série est
\[\begin{aligned}
s_n
&=a_1+a_2+\cdots +a_n\\
&=
\frac{1}{2^{1000}}+
\frac{1}{2^{1000}}+
\cdots \frac{1}{2^{1000}}=\frac{n}{2^{1000}}\,,
\end{aligned}\]
et donc \(s_n\to+\infty\) quand \(n\to\infty\).
Le terme général \(a_n=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n\) est celui de la série
harmonique, qui diverge.
C'est une série géométrique de raison \(r=e^{-0.001}\lt 1\), donc elle
converge.
Le terme général peut s'écrire comme suit:
\[
a_n=\frac{1}{e^{2\log n}}=\frac{1}{(e^{\log n})^2}=\frac{1}{n^2}\,,
\]
et on a vu que la série corresondante converge.