Exercice 06-08
Parmi les séries ci-dessous, lesquelles convergent?
  1. ∑n⩾1121000\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2^{1000}}
  2. ∑n⩾1(n−1)!n!\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{(n-1)!}{n!}
  3. ∑n⩾0e−0.001n\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}e^{-0.001n}
  4. ∑n⩾11e2log⁡n\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{e^{2\log n}}
On a ici des séries dont la convergence/divergence se déduit sans aucun calcul, uniquement par la compréhension du début de la théorie sur les séries, et des exemples vu dans le cours.

Se rappeler que elog⁡(x)=xe^{\log (x)}=x pour tout x>0x\gt 0.

  1. Le terme général an=121000a_n=\frac{1}{2^{1000}} a beau être un nombre constant très petit, il n'en est pas moins strictement positif. Donc la série diverge.

    Si on veut être plus précis: la nnème somme partielle de cette série est sn=a1+a2+⋯+an=121000+121000+⋯121000=n21000 ,\begin{aligned} s_n &=a_1+a_2+\cdots +a_n\\ &= \frac{1}{2^{1000}}+ \frac{1}{2^{1000}}+ \cdots \frac{1}{2^{1000}}=\frac{n}{2^{1000}}\,, \end{aligned} et donc sn→+∞s_n\to+\infty quand n→∞n\to\infty.
  2. Le terme général an=(n−1)!n!=1na_n=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n est celui de la série harmonique, qui diverge.
  3. C'est une série géométrique de raison r=e−0.001<1r=e^{-0.001}\lt 1, donc elle converge.
  4. Le terme général peut s'écrire comme suit: an=1e2log⁡n=1(elog⁡n)2=1n2 , a_n=\frac{1}{e^{2\log n}}=\frac{1}{(e^{\log n})^2}=\frac{1}{n^2}\,, et on a vu que la série corresondante converge.