Remarquons que pour chaque \(j=2,\dots,n\), \(\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{j^k}\) est une série géométrique convergente que l'on sait calculer: \[ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{j^k}=\frac1{j^2}\frac{1}{1-\frac{1}{j}}=\frac{1}{j(j-1)}\,. \] On a donc, pour un \(n\) fixé, \[\begin{aligned} \sum_{k=2}^\infty\Bigl\{ \frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+\cdots+\frac{1}{n^k} \Bigr\}&= \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{2^k}+ \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{3^k}+ \cdots +\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{n^k}\\ &=\frac{1}{2\cdot 1} +\frac{1}{3\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n(n-1)}\\ &=\sum_{\ell=1}^{n-1}\frac{1}{(\ell+1)\ell}\,. \end{aligned}\] Cette dernière est la somme partielle d'une série téléscopique, pour laquelle on a calculé (voir cours): \[ \lim_{n\to \infty}\sum_{\ell=1}^{n}\frac{1}{(\ell+1)\ell}=1\,. \]