Exercice 07-01
Étudier la convergence des séries suivantes.
  1. ∑n=1∞1n+2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2^n}
  2. ∑n=1∞n43n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{4}}{3^{n}}
  3. ∑n=1∞(−1)n3n−2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3n-2}
  4. ∑n=1∞cos⁡(1n2)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos(\tfrac{1}{n^2})
  5. ∑n=1∞(1n−n−1n2)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (\tfrac1n-\tfrac{n-1}{n^2})
  6. ∑n=1∞n(n+4)(n−3)7n3+n+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(n+4)(n-3)}{7n^{3}+n+2}
  7. ∑n=1∞n+4−nn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n}
  8. ∑n=2∞n100e3(log⁡(n))2\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{n^{100}}{e^{3(\log(n))^2}}
  9. ∑n=1∞1(1+(−1)n2)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(1+\frac{(-1)^n}{2})n}.
  10. ∑n⩾11n0.99999…\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^{0.99999\dots}}
On a tout un atirail de techniques à disposition pour étudier la convergence d'une série donnée: Les séries ''de référence'', celles avec lesquelles on espère le plus pouvoir faire une comparaison, sont les séries du type ∑n1np\sum_n\frac{1}{n^p}, et les séries géométriques.

Pour une série donnée, personne ne vous dit quel critère vous devez utiliser. Comme j'ai expliqué au cours, l'allure du terme général suggère souvent de lui-même quel critère peut avoir des chances de fonctionner. À vous de voir!

Quand je vois une différence de racines, j'ai envie de...

Si j'arrive à écrire le terme général d'une série comme 1nα(n) , \frac{1}{n^{\alpha(n)}}\,, j'arrive peut-être à dire quelque chose; faut voir si α(n)\alpha(n), pour nn grand, est plus grand ou plus petit que 11.

Ci-dessous, on utilise toujours ''ana_n'' pour le terme général de la série donnée.
  1. Le plus simple est d'observer qu'on peut comparer an=1n+2na_n=\frac{1}{n+2^n} avec bn=12nb_n=\frac{1}{2^n}: 0⩽an⩽bn0\leqslant a_n\leqslant b_n. Comme ∑nbn\sum_nb_n converge (série géométrique avec r=12r=\tfrac12), ∑nan\sum_na_n converge aussi.

    On peut aussi utiliser le critère de d'Alembert. On calcule lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n+2nn+1+2n+1=lim⁡n→∞1+n2n2+n+12n=12<1 , \lim_{n\to\infty} \Bigl| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigr|= \lim_{n\to\infty} \frac{n+2^{n}}{n+1+2^{n+1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{n}{2^n}}{2+\frac{n+1}{2^n}}=\frac12\lt 1\,, (pour la dernière étape, on a utilisé n2n→0\frac{n}{2^n}\to 0) et donc la série converge.
  2. Par le critère de d'Alembert, la série converge (absolument), car lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣(n+1)43n4∣=lim⁡n→∞(n+1)43n4=13<1 . \lim_{n\to\infty}\bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr| =\lim_{n\to\infty}\Bigl| \frac{(n+1)^{4}}{3n^{4}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{4}}{3n^{4}}=\frac{1}{3}\lt 1\,.
  3. Cette série converge par le critère de Leibniz pour les séries alternées. En effet, an=(−1)n3n−2=(−1)nxna_{n}=\frac{(-1)^{n}}{3n-2}=(-1)^nx_n, où xn=13n−2x_n=\frac{1}{3n-2} est décroissante et tend vers zéro.
  4. Comme lim⁡n→∞cos⁡(1n2)=1≠0\lim_{n\to\infty}\cos(\frac{1}{n^2})=1\neq 0, la série diverge.
  5. Comme le terme général est en fait an=1n−n−1n2=1n−1n+1n2=1n2 ,a_n =\frac{1}{n}-\frac{n-1}{n^2} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} =\frac{1}{n^2}\,, la série converge.

    Remarque: Il faut faire attention: Les séries ∑1n\sum\frac{1}{n} et ∑n−1n2\sum\frac{n-1}{n^2} sont toutes deux divergentes, donc on ne peut surtout pas écrire ''∑(1n−n−1n2)=∑1n−∑n−1n2\displaystyle\sum(\tfrac1n-\tfrac{n-1}{n^2}) = \sum \frac1n - \sum \frac{n-1}{n^2}''!

  6. Cette série diverge car lim⁡n→∞n(n+4)(n−3)7n3+n+2=17≠0\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+4)(n-3)}{7n^{3}+n+2}=\frac{1}{7}\neq 0
  7. On a, pour tout n⩾1n\geqslant 1, 0<n+4−nn=4n(n+4+n)<2n3/2 . 0\lt \frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n} =\frac{4}{n(\sqrt{n+4}+\sqrt{n})} \lt\frac{2}{n^{3/2}}\,. Par le critère de comparaison, ∑n=1∞n+4−nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}{n} converge car ∑n=1∞1n3/2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} converge (série du type ∑n1np\sum_n\frac{1}{n^p} avec p>1p\gt 1).
  8. Le terme général de cette suite a déjà été traité précédemment: an=n100e3(log⁡(n))2=1n3log⁡(n)−100 . a_n= \frac{n^{100}}{e^{3(\log(n))^2}} =\frac{1}{n^{3\log(n)-100}}\,. Remarquons que 3log⁡(n)−100→+∞3\log(n)-100\to+\infty lorsque n→∞n\to\infty. Donc il existe en particulier un entier NN tel que 3log⁡(n)−100⩾23\log(n)-100\geqslant 2 pour tout n⩾Nn\geqslant N, et donc 0⩽an⩽1n2 ,∀n⩾N . 0\leqslant a_n\leqslant \frac{1}{n^2}\,,\quad \forall n\geqslant N\,. Donc ∑n=N∞an\sum_{n=N}^\infty a_n converge, et par conséquent ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n, converge.
  9. Comme 1+(−1)n2⩽321+\frac{(-1)^n}{2}\leqslant \frac{3}{2} pour tout nn, on a an=1(1+(−1)n2)n⩾23n , a_n=\frac{1}{(1+\frac{(-1)^n}{2})n}\geqslant \frac{2}{3n}\,, et comme ∑n23n=∞\sum_{n}\frac{2}{3n}=\infty, on a aussi ∑n1(1+(−1)n2)n=+∞\sum_n\frac{1}{(1+\frac{(-1)^n}{2})n}=+\infty.
  10. On sait que 0.9999⋯=10.9999\dots=1, donc la série est ∑n1n\sum_n\frac{1}{n}, qui diverge.