Exercice 08-01
Vrai ou faux?
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La série
\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n(n+1)}\) diverge.
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La série
\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}2^{-\frac{n^2-1}{n+2}}\) converge.
- La série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}
\frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1}\) converge, mais pas absolument.
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La série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{\sqrt{n^n}}{n!}\) converge.
- Si \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}x_n\) converge absolument, alors
il existe \(p>1\) tel que \(|x_n|\leqslant \frac{1}{n^{p}}\)
pour tout \(n\) suffisamment grand.
Un exercice de révision...
- FAUX. En effet,
\[ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}
=\frac{1}{e}<1\,,
\]
donc la série converge.
- VRAI. En effet,
\[ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to \infty}
2^{-\frac{n^2-1}{n^2+2n}}=2^{-1}<1\,.
\]
- VRAI. En effet, remarquons d'abord que tous les termes d'indices pairs
sont nuls, \(a_{2k}=0\). Ensuite, les termes impairs peuvent s'écrire
\[
a_{2k+1}=\frac{(-1)^{k}}{2k+2}=(-1)^kx_k\,,
\]
où
\(x_k=\frac{1}{2k+2}\) est positif, strictement décroissant, et tend vers zéro.
On conclut que la série est en fait une série alternée qui satisfait au critère
de Leibniz,
\[\sum_{n\geqslant 0}
\frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1}=\sum_{k\geqslant 0}(-1)^kx_k\,,
\]
et donc elle converge. Par contre elle ne converge pas absolument puisque
\(\sum_k|a_{2k+1}|=\sum_kx_k=\sum_k\frac{1}{2k+2}=+\infty\).
- VRAI. En effet,
\[
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|
=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}_{\to 0}\underbrace{\sqrt{(1+\frac1n)^n}}_{\to\sqrt{e}}
\to 0\,.
\]
- FAUX. En effet, on verra plus tard que la série
\[
\sum_{n\geqslant 2}x_n=\sum_{n\geqslant 2}\frac{1}{n(\log(n))^2}\]
converge. Pourtant, il n'existe aucun \(p>1\) tel
que \(|x_n|\leqslant \frac{1}{n^p}\) pour tout \(n\) suffisamment grand.