Exercice 08-01
Vrai ou faux?
  1. La série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n(n+1)}\) diverge.
  2. La série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}2^{-\frac{n^2-1}{n+2}}\) converge.
  3. La série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1}\) converge, mais pas absolument.
  4. La série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\frac{\sqrt{n^n}}{n!}\) converge.
  5. Si \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}x_n\) converge absolument, alors il existe \(p>1\) tel que \(|x_n|\leqslant \frac{1}{n^{p}}\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
Un exercice de révision...
  1. FAUX. En effet, \[ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n+1}} =\frac{1}{e}<1\,, \] donc la série converge.
  2. VRAI. En effet, \[ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to \infty} 2^{-\frac{n^2-1}{n^2+2n}}=2^{-1}<1\,. \]
  3. VRAI. En effet, remarquons d'abord que tous les termes d'indices pairs sont nuls, \(a_{2k}=0\). Ensuite, les termes impairs peuvent s'écrire \[ a_{2k+1}=\frac{(-1)^{k}}{2k+2}=(-1)^kx_k\,, \] où \(x_k=\frac{1}{2k+2}\) est positif, strictement décroissant, et tend vers zéro. On conclut que la série est en fait une série alternée qui satisfait au critère de Leibniz, \[\sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1}=\sum_{k\geqslant 0}(-1)^kx_k\,, \] et donc elle converge. Par contre elle ne converge pas absolument puisque \(\sum_k|a_{2k+1}|=\sum_kx_k=\sum_k\frac{1}{2k+2}=+\infty\).
  4. VRAI. En effet, \[ \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}_{\to 0}\underbrace{\sqrt{(1+\frac1n)^n}}_{\to\sqrt{e}} \to 0\,. \]
  5. FAUX. En effet, on verra plus tard que la série \[ \sum_{n\geqslant 2}x_n=\sum_{n\geqslant 2}\frac{1}{n(\log(n))^2}\] converge. Pourtant, il n'existe aucun \(p>1\) tel que \(|x_n|\leqslant \frac{1}{n^p}\) pour tout \(n\) suffisamment grand.