Exercice 07-06
Déterminer, parmi les séries ci-dessous, celles qui convergent ou divergent.
  1. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\{\sqrt{n^3+5}-\sqrt{n^3+2}\}\)
  2. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}}\)
  3. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} e^{-(\log(n))^2}\)
  4. \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 5}\frac{1}{(\log(n))^{\log(n)}}\)

Ces deux séries ne sont d'aucun type ''classique'', comme ceux rencontrés au cours. On pourra malgré tout manipuler leur terme général (par exemple en utilisant les propriétés du logarithme) de façon à les mettre sous une forme qui permette de les comparer avec des séries classiques.

  1. En multipliant et divisant par le conjugué, \[\begin{aligned} 0\leqslant a_n= \sqrt{n^3+5}-\sqrt{n^3+2} &= \frac{3}{\sqrt{n^3+5}+\sqrt{n^3+2}}\\ &\leqslant \frac{3}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n^3}}=\frac{3}{2}\frac{1}{n^{3/2}} \end{aligned}\] Puisque \(\sum_n\frac{1}{n^{3/2}}\) converge (\(p=3/2\gt 1\)), par le critère de comparaison, \(\sum_na_n\) converge.
  2. Remarquons qu'en posant \(b_n=\frac{1}{n}\), on a \[ \frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{n^{1/n}}=\frac{1}{\exp(\frac{\log(n)}{n})}\to 1\gt 0\,. \] Puisque \(\sum_nb_n\) diverge, \(\sum_na_n\) diverge aussi.

    Remarque: L'erreur, dans l'étude de cette série, serait de penser que puisque \(\frac{1}{n}\gt 0\), la série \[ \sum_n\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}} \] est de la forme \[ \sum_n\frac{1}{n^p}\, \] avec \(p=1+\frac{1}{n}\gt 1\), et donc converge. Mais on ne peut pas appliquer ce résultat parce qu'ici, on n'a pas un \(p\gt 1\) fixé.

  3. Remarquons d'abrod que \[a_n= e^{-(\log n)^2}=\frac{1}{e^{(\log n)^2}} =\frac{1}{(e^{\log n})^{\log n}} =\frac{1}{n^{\log n}}\,. \] Or si \(n\geqslant e^2\), alors \(\log n\geqslant 2\), et donc \(0\leqslant a_n\leqslant \frac{1}{n^2}\). Comme \(\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge, \(\sum_na_n\) converge aussi.
  4. Puisque \(\log(n)\to \infty\), on sait qu'il existe \(N\) tel que \(\log(n)\geqslant e^2\) pour tout \(n\geqslant N\). Donc en particulier, \[0 \leqslant \frac{1}{(\log(n))^{\log(n)}}\leqslant \frac{1}{e^{2\log(n)}}=\frac{1}{n^2}\,. \] Donc la série converge.