Exercice 02-11
(Cet exercice est facultatif.)

Soit \(C:= \{x\in\mathbb{R}_+\,:\,x^3<1\}\).
  1. Montrer que \(C\) est majoré.
  2. Montrer que \(C\) ne possède pas de maximum.
  3. Calculer \(\sup C\).
Bien-sûr, il s'agit de faire cet exercice sans utiliser de fonction ''racine cubique''.

Remarquons qu'un ensemble \(C\) est majoré par \(M\) si et seulement si \(x\gt M\) implique que \(x\not\in C\). Ici on pourra choisir un \(M\) adapté.

Si \(C\) n'a pas de maximum, cela signifie que \(\forall x\in C\), il existe \(x'\in C\) tel que \(x'>x\). (Où qu'on soit dans \(C\), on peut toujours se mettre ''encore un peu plus à droite'' sans sortir de \(C\).)

... on pourra fixer un \(x\in C\), et montrer que si on prend \(n\) suffisamment grand, alors \(x'=x+\frac{1}{n}\in C\) aussi.

prendre un \(x\gt 0\) tel que \(x^3\lt 1\), et montrer qu'on peut prendre \(n\) suffisamment grand de façon à garantir que \((x+\frac1n)^3\lt 1\).

On peut facilement deviner ce que doit être \(s=\sup C\), et ensuite vérifier que ce \(s\) est effectivement le supremum de \(C\).

  1. Pour montrer que \(C\) est majoré, remarquons que si \(x> 1\), alors \(x^3> 1^3=1\), et donc \(x\not\in C\), ce qui implique que \(x\leqslant 1\) pour tout \(x\in C\), donc \(M=1\) majore \(C\).
  2. Pour montrer que \(C\) n'a pas de maximum, on peut montrer que pour tout \(x\in C\), il existe un entier \(n\) tel que \(x'=x+\frac{1}{n}\in C\). Supposons donc que \(x\in C\), c'est-à-dire que \(x>0\) et \(x^3<1\). On va trouver un entier \(n\geqslant 1\) tel que \((x+\frac{1}{n})^3<1\). (Remarquons que ce \(n\) dépendra nécessairement de \(x\).) On peut commencer par remarquer que pour tout \(n\geqslant 1\), \[\begin{aligned} (x+\tfrac{1}{n})^3 &=x^3+3x^2\tfrac{1}{n}+3x\underbrace{(\tfrac1n)^2}_{\leqslant \frac1n} +\underbrace{(\tfrac1n)^3}_{\leqslant \frac1n}\\ &\leqslant x^3+(3x^2+3x+1)\tfrac1n \end{aligned}\] Donc, pour avoir \((x+\frac{1}{n})^3<1\), il suffit d'imposer que \[ x^3+(3x^2+3x+1)\tfrac1n<1\,, \] ce qui est équivalent à \[ n>\frac{3x^2+3x+1}{1-x^3} \] Donc n'importe quel entier \(n\) satisfaisant cette condition implique que \[ (x+\tfrac1n)^3<1 \quad \Rightarrow \quad x+\tfrac{1}{n}\in C\,. \] Remarquons que dans la contrainte que doit satisfaire \(n\), la présence du ''\(1-x^3\gt 0\)'' au dénominateur implique que plus \(x^3\) est proche de \(1\), plus \(n\) doit être grand.
  3. Finalement, montrons que \(\sup C=1\). On a vu plus haut que \(M=1\) majore \(C\). Mais comme tous les nombres de la forme \(x=1-\varepsilon\) satisfont \(x^3=(1-\varepsilon)^3<1\), ils sont dans \(C\), et ceci montre que \(1\) est bien le plus petit majorant.